Введение в стереометрию
Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. К числу геометрических фигур относятся, например, треугольник, квадрат, круг, сфера и т. д.
Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии.
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
Основные геометрические фигуры в стереометрии: точки, прямые, плоскости.
При решении стереометрических задач очень важно научиться распознавать и выделять в пространственных образах разнообразные плоские фигуры.
Аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве:
Следствия :
Пример. Горизонтальная прямая, проведенная на одной стене комнаты, и вертикальная прямая, проведенная на противоположной стене, являются скрещивающимися.
Скрещивающиеся прямые не пересекаются друг с другом, сколько бы их ни продолжать, но их не называют параллельными.
Параллельными называются только такие две непересекающиеся прямые, через которые можно провести плоскость.
Различие между параллельными прямыми и скрещивающимися наглядно характеризуется тем, что две параллельные прямые имеют одно и то же направление, тогда как направления скрещивающихся прямых различны.
Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой (расстояние измеряется по перпендикуляру), тогда как точки одной из скрещивающихся прямых находятся на различных расстояниях от другой.
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина отрезка MN, соединяющего ближайшие друг к другу точки М и N (рис.1), лежащие на скрещивающихся прямых. Прямая MN перпендикулярна обеим скрещивающимся прямым.
Расстояние между параллельными прямыми определяется, как в планиметрии. Расстояние между пересекающимися прямыми считается равным нулю.
Две плоскости могут пересекаться (по прямой линии) или не пересекаться. Непересекающиеся плоскости называются параллельными.
Прямая и плоскость также либо пересекаются (в одной точке), либо не пересекаются; в последнем случае говорят, что прямая параллельна плоскости (или что плоскость параллельна прямой).
При решении задач на комбинацию тел вращения и многогранников необходимо помнить:
Геометрия. 10 класс
Параллельность плоскостей
Параллельность плоскостей
Необходимо запомнить
Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Свойства параллельных плоскостей.
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Параллельность плоскостей
Разберём и докажем теорему.
Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.
Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.
В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.
Докажем методом от противного, что β – единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.
Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.
Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β – единственна. Теорема доказана.
Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.
, так как 
Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
= = 
Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.
Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.
.
Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.
Так как 
, то .
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Геометрия. 10 класс
Параллельность плоскостей
Параллельность плоскостей
Необходимо запомнить
Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Свойства параллельных плоскостей.
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Параллельность плоскостей
Разберём и докажем теорему.
Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.
Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.
В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.
Докажем методом от противного, что β – единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.
Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.
Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β – единственна. Теорема доказана.
Через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя
ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
8. Предварительное замечание. Две прямые могут быть расположены в пространстве так, что через них нельзя провести плоскость.
Возьмём, например (черт. 4), две такие прямые АВ и DЕ, из которых одна пересекает некоторую плоскость Р, а другая лежит на ней, но не проходит через точку (С) пересечения первой прямой и плоскости Р.
Через такие две прямые нельзя провести плоскость, потому что в противном случае через прямую и точку С проходили бы две различные плоскости: одна Р, пересекающая прямую АВ, и другая, содержащая её, а это невозможно (§ 3).
Две прямые, не лежащие в одной плоскости, конечно, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали; однако их не называют параллельными, оставляя это название дли таких прямых, которые, находясь в одной плоскости, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Прямая и плоскость, параллельные между собой
9. Определение. Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
10. Теорема. Если прямая (АВ, черт. 5) параллельна какой-нибудь прямой (СD), расположенной в плоскости (Р), то она параллельна самой плоскости.
Проведём через АВ и СD плоскость R и предположим, что прямая АВ где-нибудь пересекается с плоскостью Р. Тогда точка пересечения, находясь на прямой АВ, должна принадлежать также и плоскости R, на которой лежит прямая АВ, в то же время точка пересечения, конечно, должна принадлежать и плоскости Р. Значит, точка пересечения, находясь одновременно и на плоскости R и на плоскости Р, должна лежать на прямой СD, по которой пересекаются эти плоскости; следовательно прямая АВ пересекается с прямой СD. Но это невозможно, так как по условию АВ||СD, значит, нельзя допустить, чтобы прямая АВ пересекалась с плоскостью Р, и потому АВ||Р.
11. Теорема. Если плоскость (R, черт. 5) проходит через прямую (АВ), параллельную другой плоскости (Р), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (СD) параллельна первой прямой (АВ).
Действительно, во-первых, прямая СD лежит в одной плоскости с прямой АВ, во-вторых, эта прямая не может пересечься с прямой АВ, потому что в противном случае прямая АВ пересекалась бы с плоскостью Р, что невозможно.
12. Следствие 1. Если прямая (АВ, черт. 6) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей (Р и Q), то она параллельна линии их пересечения (СD).
Проведём плоскость через АВ и какую-нибудь точку М прямой СD. Эта плоскость должна пересечься с плоскостями Р и Q по прямым, параллельным АВ и проходящим через точку М. Но через точку М можно провести только одну прямую, параллельную АВ; значит, две линии пересечения проведённой плоскости с плоскостями Р и Q должны слиться в одну прямую. Эта прямая, находясь одновременно на плоскости Р и на плоскости Q, должна совпадать с прямой СD, по которой плоскости Р и Q, пересекаются; значит, СD || AВ.
13. Следствие 2. Если две прямые (АВ и СD, черт. 7) параллельны третьей прямой
(ЕF), то они параллельны между собой.
Проведём плоскость М через параллельные прямые АВ и ЕF. Так как СD||EF, то
СD||M (§ 10).
Проведём также плоскость N через СD в некоторую точку А прямой AВ.
Так как EF||СD, то EF||N. Значит, плоскость N должна пересечься с плоскостью M по прямой, параллельной EF (§ 11) и в то же время проходящей через точку А. Но в плоскости М через А проходит единственная прямая, параллельная EF, именно прямая АВ. Следовательно, плоскость N пересекается с М по прямой АВ; значит, СD || AВ.
14. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
15. Теорема. Если две пересекающиеся прямые (АВ и АС, черт. 8) одной плоскости
(Р) соответственно параллельны двум прямым (А1В1 и А1С1) другой плоскости (Q), то эти плоскости параллельны.
Прямые АВ и АС параллельны плоскости Q (§10).
Допустим, что плоскости Р и Q пересекаются по некоторой прямой DE (черт. 8). В таком случае AB||DE и AC||DE (§11). Таким образом, в плоскости Р через точку А проходят две прямые АВ и АС, параллельные прямой DE, что невозможно. Значит, плоскости Р и Q не пересекаются.
16. Теорема. Если две параллельные плоскостu (Р и Q черт. 9) пересекаются третьей плоскостью (R), то линии пересечения (АВ и СD) параллельны.
Действительно, во-первых, прямые АВ и СD находятся в одной плоскости (R); во-вторых, они не могут пересечься, так как в противном cлучае пересекались бы плоскости Р и Q, что противоречит условию.
17. Теорема. Отрезкu параллельных прямых (АС и ВD черт. 9), заключённые между параллельными плоскостями (Р и Q), равны.
Через параллельные прямые АС и ВD проведём плоскость R; она пересечёт плоскости Р и Q по параллельным прямым АВ и СD следовательно, фигура АВDС есть параллелограмм, и потому АС||ВD.
18. Теорема. Два угла (ВАС и В1А1С1, черт. 10) с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях (Р и Q).
Что плоскости Р и Q параллельны, было доказано выше (§ 15); остаётся доказать, что углы А и А1 равны.
Отложим на сторонах углов произвольные, но равные отрезки АВ = А1В1; АС = А1С1 и проведём прямые АА1, ВВ1, СС1, ВС и В1C1.
Так как отрезки АВ и А1В1 равны и параллельны, то фигура АВВ1А1 есть параллелограмм; поэтому отрезки АА1 и ВВ1 равны и параллельны. По той же причине равны и параллельны отрезки АА1 и СС1, следовательно, ВВ1||СС1 и ВВ1= СС1.
Поэтому ВС = В1С1 и /\ АВС = /\ А1В1С1 (по трём сторонам); значит, / А = / А1
Задачи на построение
19. Через точку (А, черт. 11), расположенную вне данной прямoй (а), в пространстве провести прямую, параллельную данной прямой (а).
Решение. Через прямую а и точку А проводим плоскость М. В этой плоскости строим прямую b, параллельную прямой а.
Задача имеет единственное решение. В самом деле, искомая прямая должна лежать с прямой а в одной плрскости. В этой же плоскости должна находиться точка А, через которую проходит искомая прямая. Значит, эта плоскость должна совпадать с M. Но в плоскости М через точку А можно провести только одну прямую, параллельную прямой а.
20. Через данную точку (А, черт. 12) провести плоскость, параллельную данной плоскости (Р), не проходящей через точку А.
Решение. Проводим на плоскости Р через какую-либо точку В две какие-либо прямые ВС и ВD. Построим две вспомогательные плоскости: плоскость М—через точку А и прямую ВС и плоскость N—через точку А и прямую ВD. Искомая плоскость, параллельная плоскости Р, должна пересечь плоскость М по прямой, параллельной BС, a плоскость N — по прямой, параллельной ВD (§ 16).
Отсюда вытекает такое построение:
через точку А проводим в плоскости М прямую АС1 ||ВС, а в плоскости N прямую
АD1 ||ВD.
Через прямые АС1 и АD1 проводим плоскость Q. Она и будет искомой. В самом деле, стороны угла D1АС1 расположенного в плоскости Q параллельны сторонам угла DВС, расположенного в плоскости P. Следовательно, Q|| Р.
Так как в плоскости М через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную ВС, а в плоскости N через точку А лишь одну прямую, параллельную BD, то задача имеет единственное решение. Следовательно, через каждую точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости.
21. Через данную прямую (а, черт. 13) провести плоскость, параллельную другой данной прямой (b).
Через какую нибудь точку А прямой а проводим прямую b1, параллельную b ; через прямые а и b1 проводим плоскость. Она и будет искомой (§10). Задача имеет в этом случае единственное решение.
2-й случай. Прямые а и b параллельны. В этом случае задача неопределенна: всякая плоскость, проходящая через прямую а, будет параллельна прямой b.
22. Пример более сложной задачи иа построение. Даны две скрещивающиеся прямые (а и b, черт. 14) и точка А, не лежащая ни на одной из данных прямых. Провести через точку А прямую, пересекающую обе данные прямые (а и b).
