Так ли точна математика, как кажется?
Наверное, данный вопрос задавал себе каждый, чуточку интересующийся математикой человек. Прочитав статью 2 х 2 = 4, было сделано заключение, что эта тема также может понравиться хабралюдям. Речь пойдет об аксиомах в математике, противоречиях и парадоксах. Кому интересно — добро пожаловать под кат.
Вместо предисловия
Каждый из нас в школе не сомневался в справедливости тех или иных математических утверждений. Ну и правда, что учитель сказал, то и истина. Но, познакомившись со строгой математикой (не люблю слово «высшей»), мы начали понимать, что чем больше мы стараемся формализовать предмет, тем сложнее это сделать, а иногда совсем не получается.
Так нам привычные действительные числа, для Леопольда Кронекера не являлись таковыми, он говорил: «Бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»)
После того, как Георг Кантор доказал, что отрезок равномощен (А и B равномощны, если существует биекция между ними) n-мерному пространству, он провозгласил: «Я вижу это, но я не верю в это!» («Je le vois, mais je ne le crois pas!»)
Немного философии
Речь в этой статье пойдет об аксиоматике тех или иных математических множеств, операций и т.д., но все же закономерным вопросом будет, а зачем нам аксиомы вообще нужны? Приведу простой пример. Возьмем русский язык и слово, например, «дежавю». Посмотрим его значение, «Дежавю́ — психическое состояние, при котором человек ощущает, что он когда-то уже был в подобной ситуации». Но мы дотошные, посему теперь вместо одного слова перед нами возникнет куда больше. Что такое «психический», «состояние», «человек», «ощущать», «подобный», «ситуация». Как вы можете заметить, у нас получается дерево слов, а в силу того, что слов, имеющих значение в русском языке конечное множество, у нас получится путь в дереве, в котором встречается дважды одно и то же слово, т.е. мы определили его через самого себя.
Вот для этого и нужны аксиомы. Нам всегда нужен фундамент, с которого мы можем стартовать, что-то, что и так всем интуитивно понятно. Неточность 1. В математике часто бывают утверждения, интуитивно понятные, но приводящие к парадоксам. Например аксиома выбора(Axiom of Choice), но об этом мы поговорим чуть позже.
Больше конкретики. Аксиомы Пеано натуральных чисел.
Я, как программист, люблю считать, что 0 принадлежит натуральным числам, это удобно. Что-ж, теперь наиболее знаменитая аксиоматика Пеано.
1. 0 является натуральным числом.
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным.
3. 0 не следует ни за каким натуральным числом.
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c совпадают.
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 0 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Разберемся по-порядочку.
1-я аксиома говорит, что существует хотя бы одно натуральное число. Иначе бы мы сказали, что это вообще пустое множество и все аксиомы бы для него выполнялись бы.
2 и 3 вроде бы и так ясны.
4. Эта аксиома нужна для того, чтобы не появились «ответвления». Иначе мы могли бы сказать, что 3 следует за 2 и 2′, а дальше 2 и 2′ за 1 и 1′ соответственно, и т.д. В принципе, такая модель имеет право на существование, но на ней крайне сложно ввести отношение порядка.
5. Первый человек в очереди женщина. За каждой женщиной идет женщина. В реальной жизни это значит, что вся очередь состоит из женщин. А так как мы хотим описывать все же более жизненные объекты, то и вводим аксиому индукции, ибо из предыдущих она никак не следует.
Удобная модель, все отлично, все счастливы. Вопрос, в чем же подвох? Оказывается, что если мы добавим новое натуральное число с к нашим привычным натуральным числам и скажем, что оно больше всех наших привычных, то мы не придем ни к какому противоречию. Т.е. у нас есть не только наша модель N, но и, к примеру, N + Z. Где в N и Z (целые числа) обычное сравнение чисел, а также любое число из N меньше любого числа из Z.
Вопрос, можно ли ввести аксиомы так, чтобы мы описали наши привычные натуральные числа, и только их (т.е. существует ли формула, подставив в которую естественное натуральное число она выдаст True, а любое другое число False)? Ответ — нет. Идея доказательства в том, что все формулы можно закодировать натуральными числами. А далее, написав хитрую формулу, и подставив ее код в Ф (формула, которая по предположению умеет определять естественную натуральность), мы получим противоречие.
Больше конкретики. Аксиоматика множеств Цермело-Френкеля (ZF)
1. Аксиома объемности. Если два множества состоят из одинаковых элементов, то они равны.
2. Аксиома подмножеств. Если у нас есть некоторая формула, то из любого множества она «вырезает» также множество.
3. Аксиома замены. Если для каждого мн-ва х, F(x) = также является множеством, то для любого а, — также множество.
4. Аксиома степени. Множество подмножеств также является множеством.
5. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое содержит пустое множество, а также вместе с каждым элементом x содержит множество <
6. Аксиома регулярности. Не существует бесконечных по включению цепочек множеств, т.е. нельзя, чтобы множество a1 сожержало a2, то в свою очередь a3, и т.д.
Противоречия и парадоксы
Во-первых, не доказано, что аксиомы ZF непротиворечивы, если же они противоречивы, то можно вывести любое утверждение, например 0 = 1, и грош цена нашей науке. Даже более, доказано, что нельзя доказать непротиворечивость ZF. Забавная штука получается, но в этом нет ничего страшного. Если мы чего-то не можем доказать, не значит, что этого нет, в данном случае непротиворечивости. Движемся дальше.
Математика получается достаточно скупой наукой, то есть мало всего можно доказать, если не добавить аксиому выбора. А что это за аксиома такая? В трех словах — из любого непустого множества можно выбрать элемент. Казалось бы, очень естественная аксиома, но она приводит к парадоксу Банаха-Тарского, заключающегося в том, что шар можно разбить на 5 кусков и собрать из них 2 таких же шара. Т.е. яблоко можно разрезать на 5 частей и собрать два яблока?! Посему и парадокс. Что еще интереснее, доказано, что если теория ZF непротиворечива, то добавив к ней аксиому выбора (ZF + Axiom of Choice = ZFC) мы получим непротиворечивую аксиоматику!
Искорка надежды
То мы что-то не можем доказать, то какие-то парадоксы. Может, математика — полная чушь? Может не следует ее изучать? Ответ: никакая не чушь, изучать следует. Почему же, спросит читатель. Я приведу достаточно физическое доказательство. Обычно в физике бывает так. «Ого, в течении 100 лет мы наблюдали за падением бутербродов и оказалось, что они падают маслом вниз, назовем это законом». Думаете, шучу? А попытайтесь доказать, что тела состоят из молекул. Ничего более строгого, чем то, что в течение 2000 лет эта теория не давала сбой, вы не придумаете. Так вот с математикой примерно та же ситуация. Мы используем ее, вроде бы машины едут, самолеты летят, здания стоят и все хорошо. Интуитивно ясно, что если бы в математике было противоречие, то, чем глубже бы мы копались в дебрях этой науки, тем легче бы были доказательства теорем, но такого не происходит.
И все же, откуда парадокс Банаха-Тарского возникает, все же достаточно логично! На самом деле, если аккуратно заметить, то во Вселенной нет ничего бесконечного. Нет ничего бесконечно малого и т.д. Просто удобно работать с бесконечными множествами. Так что вполне нормально, что могут получаться результаты не применимые к жизни.
Как в математике называется теорема не требующая доказательства?
Как в математике называется теорема не требующая доказательства?
Это аксиома. Только вопрос поставлен не совсем точно. В математике есть два утверждений
Т.о. теоремы не требующей доказательства вроде как и быть не должно.
Утверждение не требующее доказательств, потому, что оно, якобы, очевидно, а может просто недоказуемо, называется аксиомой.
Например, в геометрии их пять и самая последняя, пятая, о параллельности прямых, самая длинная и самая сомнительная и самая загадочная с далеко идущими выводами.
Аксиома-именно такое название носит утверждение,которое не требует доказательства.То есть это утверждение очевидно.
Одной из аксиом,которые мне запомнились из школьных учебников,является аксиома о том,что параллельные прямые не пересекаются.А ведь и правда очевидное утверждение!
Данная теорема говорит нам следующее:
если дана произвольная окружность и к ней из точки, лежащей вне этой окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек пересечения секущей с окружностью.
Что касается недоказанных теорем, то почитай список 23 проблем Гильберта, составленный Гильбертом в конце 19 века.
Правда, большинство этих проблем либо доказано, либо опровергнуто, либо доказано, что их нельзя доказать.
Никакой теоремы Рема мне найти не удалось.
Есть Теорема Римана о рядах: Пусть ряд сходится условно, тогда можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда может стать равна произвольному действительному числу или ряд разойдется.
Она доказана, и на Вики вы можете найти ее доказательство.
Еще есть Теорема Римана об отображении (в комплексном анализе именуемая просто теоремой Римана).
Пусть U — область на расширенной комплексной плоскости, являющаяся односвязной, причём её граница содержит более одной точки. Тогда существует голоморфная функция f на единичном круге, отображающая его на U взаимно однозначно.
Еще есть Гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функции Римана, была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.
В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x — функция распределения простых чисел, обозначаемая π ( x ) — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.
Круг не имеет длины, а «теорема о дощечках», известная более сорока как задача венгерского математика Ласло Тота утверждает, что
изящное решение этой теоремы дискретной геометрии предложил Александр Полянский из Московского физтеха в Долгопрудном
Абсолютно надуманная и бесполезная в реальной жизни проблема.
Некоторые математические задачи нерешаемы, и это не так уж плохо
Постройте выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами.
Вероятно, то, что я даю такие задания, многое говорит обо мне, как об учителе. Я наблюдаю за тем, как студенты пытаются выстроить прямые углы последовательно. Когда у них это не получается, они пытаются перемежать прямые углы. Снова потерпев неудачу, они вставляют их в многоугольник случайным образом. Скрежет, издаваемый их мозгами во время мыслительных усилий — музыка для ушей учителя.
Потом у них возникают подозрения и они начинают задавать вопросы. «Вы сказали о прямых углах. Может, на самом деле вы имели в виду три угла?», «Вы точно имели в виду выпуклый многоугольник?», «Четыре прямых угла, по сути, образуют прямоугольник. Как мы можем получить ещё четыре стороны в восьмиугольнике?» Я внимательно слушаю, киваю, подтверждая их догадки.
Наконец, кто-то задаёт вопрос, который никто не осмеливался задать, вопрос, которого я ждал: «Слушайте, а это вообще возможно?»
Этот вопрос обладает мощью, способной менять образ мышления в математике. Те, кто думал узко о конкретных условиях, теперь должны думать более широко о том, как соответствуют друг другу эти условия. Те, кто работает внутри системы, должны сделать шаг назад и изучить саму систему. На протяжении всей истории математики этот вопрос задавался множество раз, им озадачивались те, кто решал задачи квадратуры круга для обхождения города Кёнигсберга. И этот вопрос позволяет нам сформулировать, что же такое математика и как мы её понимаем.
Например, поиск восьмиугольника с определёнными свойствами сильно отличается от задачи демонстрации, что такого восьмиугольника существовать не может. Экспериментируя с разными восьмиугольниками, мы ведь можем и наткнуться на такой, где есть четыре прямых угла.
Это не пример. На самом деле у этого восьмиугольника нет четырёх прямых углов.
Но удача не играет никакой роли в доказательстве того, что подобный восьмиугольник не может существовать. Для него требуется глубокое знание, не только многоугольников, но и самой математики. Чтобы учесть невозможность, нам нужно понять, что простое допущение о существовании объекта не доказывает его существование. Математические определения, свойства и теоремы живут в условиях давления, вызванного их взаимосвязанностью. Пытаясь представить восьмиугольник с четырьмя прямыми углами, мы находимся внутри этих взаимосвязанных правил.
Но чтобы осознать, что восьмиугольник невозможен, нам нужно отступить на шаг назад и взглянуть на картину в целом. Какие математические и геометрические принципы могут быть нарушены восьмиугольником с четырьмя прямыми углами? Здесь хорошо будет начать с теоремы о сумме углов многоугольника.
Сумма внутренних углов n-стороннего многоугольника определяется по формуле:
Так получилось, потому что каждый n-сторонний многоугольник можно разрезать на (n − 2) треугольников, сумма внутренних углов каждого из которых равна 180º.
В случае восьмиугольника это означает, что сумма его внутренних углов равна (8 – 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º. Тогда если четыре из его углов прямые, то есть каждый равен 90º, то это составляет 4 × 90º = 360º от общей суммы углов. Значит, на оставшиеся четыре угла восьмиугольника остаётся 1080º – 360º = 720º.
Это означает, что среднее для четырёх оставшихся углов должно быть равно:
Но внутренние углы выпуклого многоугольника должны быть меньше 180º, то есть это невозможно. Выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами не может существовать.
Доказательство невозможности таким способом требует сделать шаг назад и посмотреть, как различные математические правила, например, формула суммы углов многоугольника и определение выпуклого многоугольника, существуют во взаимном давлении. И поскольку доказательства невозможности полагаются на более широкое рассуждение над множеством правил, часто существует несколько способов построения такого доказательства.
Давайте вернёмся к нашему предыдущему замечанию о том, что четыре прямых угла составляют прямоугольник.
Внешние углы многоугольника.
Если бы восьмиугольник имел четыре прямых угла, то обойдя только эти углы, мы бы совершили полный круг, как будто мы полностью обошли вокруг прямоугольника. Эта мысль приводит нас к правилу, дающему ещё одно доказательство невозможности. Известно, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360º. Поскольку внешний угол прямого угла также является прямым углом, наши четыре прямых угла составят все 360º от суммы внешних углов восьмиугольника. То есть остальным четырём углам не остаётся ничего, и мы снова установили, что такой восьмиугольник невозможен.
Доказательство того, что что-то невозможно — мощное математическое событие. Оно сдвигает нашу точку зрения, мы превращаемся из подчиняющихся правилам в контролирующих правила. А чтобы контролировать правила, нам нужно сначала их понять. Мы должны не только знать, как применять их, но и ситуации, в которых они неприменимы. А также находить ситуации, в которых правила могут конфликтовать друг с другом. В процессе исследования восьмиугольника мы выявили взаимосвязь многоугольников, выпуклости, прямых углов и сумм углов. И это подчёркивает, что S = (n – 2) × 180º — не просто формула: это одно из условий в мире конфликтующих условий.
Доказательства невозможности могут помочь нам лучше понимать все области математики. В школе уроки по теории вероятностей часто начинаются с подбрасывания множества воображаемых монеток. Я предлагаю ученикам создать жульническую монету, имеющую склонность к выпадению орла или решки, обладающую следующим свойством: при подбрасывании монетки дважды результаты двух подбрасываний с большей вероятностью будут разными, чем одинаковыми. Другими словами, вы с большей вероятностью выбросите орла и решку, чем орла и орла или решку и решку.
После экспериментов и мыслительных неудач ученики приходят к интересной гипотезе: разные результаты никогда не имеют бОльшую вероятность, чем одинаковые. Алгебра выявляет это и указывает на лежащую в основе этого явления симметрию.
Допустим, монетка смещена в сторону выпадания орла. Мы назовём вероятность выпадания орла 
, где 
. Тот факт, что 
0$» data-tex=»inline»/>, гарантирует, что орёл более вероятен, чем решка, имеющая вероятность 
, поскольку сумма двух вероятностей должна быть равна 1.
Если мы подбросим монету дважды, то вероятность получения двух орлов или двух решек будет равна
Здесь мы складываем вероятность получения двух орлов (левая часть) с вероятностью получения двух решек (правая часть). При помощи алгебры мы можем упростить вероятность получения одинакового результата при обоих бросках:
.
Поскольку 0$» data-tex=»inline»/>, мы знаем, что 
\frac<1><2>$» data-tex=»inline»/>$, а это означает, что с большей вероятностью результаты бросков будут одинаковыми. На самом деле, мы видим, что даже если 
(монета не жульническая), вероятность одинаковых результатов равна 
, из-за чего вероятность разных результатов бросков тоже равна . Тот же результат никогда не будет менее вероятным, чем разные.
Как и в случае задачи с многоугольником, мы видим работу конкурирующих математических давлений: изменение вероятности получения одной стороны монеты изменяет вероятность получения другой, и эта взаимосвязанность управляет пространством возможностей результатов двух бросков. Мы выявили это давление, пытаясь выполнить невозможное.
Таким давлениям можно подвергнуть любую область математики. Попробуйте найти шесть последовательных целых чисел, сумма которых равна 342, и благодаря своей настойчивости вы придёте к более глубокому пониманию чётности. (Тот факт, что последовательные целые числа попеременно становятся чётными и нечётными, влияет на то, какими могут быть их суммы.) Нахождение кубического многочлена с целочисленными коэффициентами, имеющего три невещественных корня, научит вас важности сопряжённых комплексных чисел — пар комплексных чисел, произведение и сумма которых всегда вещественны. А если вы попытаетесь вписать в окружность непрямоугольный ромб, то обнаружите важное свойство циклических четырёхугольников — противоположные углы четырёхугольника, вершины которого лежат на окружности, должны иметь сумму 180 градусов.
Столкновение с невозможным позволяет нам исследовать границы наших математических миров. Невозможное само по себе является своего рода обобщением, поэтому естественно будет продолжить обобщение: восьмиугольник не может иметь четырёх прямых углов, но как насчёт десятиугольника? Как насчёт выпуклого многоугольника с n > 4 сторонами? Подобные вопросы упираются в границы наших математических миров и углубляют их понимание.
Если мы будем продавливать границы дальше, то невозможное может даже вдохновить к созданию новых математических миров. Чтобы доказать невозможность получения квадратуры круга (этой задаче уже не менее двух тысяч лет), необходима современная теория трансцендентных чисел, которые не могут являться корнями целочисленных многочленов. Для решения задачи о семи кёнигсбергских мостах Эйлер превратил острова и мосты в вершины и рёбра, дав жизнь обширным областям теории графов и теории сетей, а также множеству их сфер применения. Получение квадратного корня от −1 привело к созданию совершенно новой системы арифметики. А логик Курт Гёдель навсегда изменил математику, доказав, что невозможно доказать, что всё истинное истинно.
Поэтому когда в следующий раз вы столкнётесь с математической задачей, спросите себя: «Возможно ли это?» Столкновение с невозможностью может дать вам более глубокое понимание того, что возможно. При этом вы даже сможете создать новые области математики.
Упражнения
1. Найти площадь треугольника с длинами сторон 46, 85 и 38.
2. Пусть 
. Найти такие целые 
, 
и 
, при которых 
.
3. Найти полный квадрат, в котором все составляющие его цифры принадлежат множеству <2, 3, 7, 8>.
Ответы
Такой треугольник не существует. Длины его сторон не удовлетворяют теореме неравенства треугольника, гласящей, что сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Это можно показать геометрически: возьмём отрезок длиной 85 и на его концах построим окружности радиусами 38 и 46. Эти окружности не пересекутся, из-за чего невозможно найти третью вершину треугольника.
На правах рекламы
Какими бы не были ваши задачи, всегда не помешают доступные и надёжные серверы. Даже для сложных математических расчётов, максимальная конфигурация — 128 ядер CPU, 512 ГБ RAM, 4000 ГБ NVMe.
