Тест «Комплексные числа»
« Комплексные числа помогают из-за обратной стороны зеркала справиться с недостатками вещественных чисел »
Часть I . Выберите один правильный ответ.
1. На множестве действительных чисел не выполнима операция:
б) возведения в степень отрицательного числа
в) извлечения корня из отрицательного числа
2. Комплексные числа были введены для получения дополнительных возможностей при решении:
а) систем линейных уравнений
б) квадратных уравнений
в) уравнений высших степеней
г) тригонометрических уравнений
3. Что представляет собой число i :
а) число, квадратный корень из которого равен – 1
б) число, квадрат которого равен – 1
в) число, квадратный корень из которого равен 1
г) число, квадрат которого равен 1
а) действительных чисел
в) иррациональных чисел
г) комплексных чисел
5. Термин «мнимые числа» ввел:
6. И з предложенных чисел выберите чисто мнимое число :
а) вещественной частью комплексного числа
б) мнимой частью комплексного числа
в) тригонометрической формой комплексного числа
г) алгебраической формой комплексного числа
10. Два комплексных числа нельзя соединить знаком:
11. На координатной плоскости число изображается:
а) точкой или радиус-вектором
в) плоской геометрической фигурой
г) заштрихованной частью плоскости
12. Аргументом комплексного числа называется:
а) вещественная часть комплексного числа
б) мнимая часть комплексного числа
в) расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число
г) угол, который радиус-вектор от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число, образует с осью Ox
13. Модулем комплексного числа называется:
а) данное комплексное число без учета знака
б) расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число
в) расстояние от осей координат до точки, в виде которой отображается комплексное число
г) сумма вещественной и мнимой части
14. На комплексной плоскости числу i соответствует точка с координатами:
15. Модуль комплексного числа z= 4 + 3i равен:
Часть II . Выберите верные утверждения.
2. Число, квадрат которого равен – 4, является действительным.
3. 0 – комплексное число.
5. Число 2 i является чисто мнимым.
6. Если а + bi является действительным, то b = 0.
7. Действительная и мнимая части комплексного числа 3–2 i соответственно равны 3 и 2.
8. Действительная и мнимая части сопряженных чисел отличаются только знаками.
9. Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками.
10. Сопряженным для действительного числа является само это число.
11. Два комплексных числа равны, если равны их аргументы.
12. Два комплексных числа равны, если равны их модули.
13. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части.
14. Множество всех комплексных чисел, у которых равны модули, есть окружность.
15. Множество всех комплексных чисел, у которых равны аргументы, есть числовой луч, выходящий из начала координат и наклонённый под углом a к положительному направлению оси абсцисс.
16. У сопряженных комплексных чисел модули равны.
Два комплексных числа нельзя соединить знаком
VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и 
называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора 
, изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число 
можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол 
( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа 
в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби 
на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Комплексные числа — простое объяснение. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться. В начале они назывались невозможными числами. Также их еще называли мнимыми или воображаемыми, поскольку действительно чтобы их представить, требуется немного воображения. В данном обзоре постараемся в доступной форме с наглядными примерами разобраться с данными числами.
Комплексные числа — простое объяснение
Для того, чтобы разобраться с комплексными числами, следует для начала рассмотреть множество действительных чисел. К этому множеству относятся целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Рассмотрим две точки на прямой А = 1 и Б = 2. Сложим эти две точки. Их сумма эта третья точка В = 1+2 = 3.
Точки также можно перемножать. Посмотрим, например, как действует умножения на минус 2. Данное действие преобразует точку 1 в минус 2. Если мы снова умножим на минус 2, то нужно будет повторить аналогичное передвижение на прямой, поменять стороны относительно начала координат и удвоить расстояние до него. В результате получим 4.
Умножение на минус 1 устроено просто. Каждая точка переходит в симметричную ей относительно начала координат. Другими словами нужно сделать пол оборота (повернуть на 180°). Повторение умножения на минус 1 приводит в исходное положение. Умножение на минус 1 переводит 1 в минус 1. Если еще раз умножить на минус 1, мы вернемся обратно в 1.
На данном этапе можно выделить правило, что если умножить число на себя, результат всегда будет положительным. Другими словами минус 1 не имеет квадратного корня. Но только не в случае с комплексными числами.
В начале 19 века Робер Арган высказал следующую идею. Поскольку умножить на минус 1 означает повернуть на 180°, то квадратный корень из минус 1 означает повернуть на половину (90°). Если повернуть дважды на четверть оборота, вы сделаете пол оборота. Квадрат четверти оборота — это пол оборота (минус 1). То есть квадратный корень из минус 1 отвечает точке, в которую минус 1 переходит при повороте на 90°. Поскольку такое построение, выходящее за пределы горизонтальной прямой, выглядит странным, говорят, что такая точка, являющаяся квадратным корнем из минус 1 — это мнимое число. И в математике оно обозначается — i.
С выходом за пределы прямой, все последующие действия производятся легко. Можно отметить числа 2i, 3i и так далее. Каждой точке плоскости отвечает комплексное число. И наоборот — всякое комплексное число задает точку на плоскости.
Операции с комплексными числами
Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.
Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.
Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.
В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.
Несколько примеров вычитания:
Умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.
2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.
Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:
z1÷z2 = (x1+y1i)÷(x2+y2i) = ((x1+y1i)×(x2-y2i))÷((x2+y2i)×(x2-y2i)) = ((x1×x2+y1×y2)÷(x2²+y2²)) + (i×(x2×y1-x1×y2)÷(x2²+y2²)).
Комплексные числа — тригонометрическая форма
Казалось бы, плоскость двухмерная, так как для описания произвольной точки нужны два числа. На самом же деле можно обойтись одним числом. Для этого используется тригонометрическая форма представления. То есть z = a+bi можно представить как z = [z]×(cosφ+i×sinφ), где:
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: [z] = √(a²+b²). Данная формула справедлива для любых значений a и b.
Для нахождения аргумента (φ или argz) нужно воспользоваться следующими формулами:
Как видно, комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться на первый взгляд. Ознакомившись с простым объяснением и методикой работы с ними, вы научитесь складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа. Также вы сможете переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую.
Комплексные числа на ЕГЭ по математике
Что такое комплексные числа
Все знают, что ЕГЭ по математике Профильного уровня в ближайшие годы будет меняться. Например, предлагается добавить в школьную программу по математике тему «Комплексные числа». Но что же это такое?
Начнем с хорошо известных вам фактов.
Вспомним, что возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
Если положительное число возвести в квадрат — результат будет положительный.
Число 2 называют арифметическим квадратным корнем из 4, то есть
А можно ли какое-нибудь число возвести в квадрат, чтобы результат получился отрицательный? И если нет, то почему?
Ведь отрицательные числа ничем не хуже положительных. Баланс мобильного телефона может быть положительным или отрицательным. Температура может быть равна +5 градусов Цельсия, а может быть и минус 5 градусов. На числовой оси положительные и отрицательные числа расположены симметрично. Почему же из положительных чисел квадратный корень извлекать можно, из нуля тоже можно (он равен нулю), а из отрицательных нельзя?
И называется это число мнимой единицей, а обозначается буквой
Вот какая необычная формула получилась:
Получается, что уравнение имеет 2 решения: i и минус i.
Теперь нам не страшны квадратные уравнения, в которых дискриминант отрицателен.
Числа вида называются комплексными. При этом х называется действительной частью комплексного числа z, а у — его мнимой частью.
Записывается это так:
Сокращения понятны тем, кто изучает английский: Re — Real, Im — Imaginary.
Помните, мы говорили о том, какие бывают числа?
Натуральные числа применяются для счета предметов. Множество натуральных чисел обозначается N.
Рациональные числа — те, которые можно записать в виде обыкновенной дроби вида р/q, где р — целое, q — натуральное. Например, — числа рациональные. Мы проходили их в начальной и средней школе. Если рациональное число записать в виде десятичной дроби, она будет периодической, например, Множество рациональных чисел обозначается Q и содержит в себе множество целых чисел.
В старших классах мы узнали об иррациональных числах — таких, как или Их невозможно записать в виде обыкновенной дроби, а если выразить в виде десятичной — она будет бесконечной непериодической. И казалось, что мы знаем о числах всё. Все числа, какие только нам встречались, входили в множество действительных чисел R.
Когда мы пишем: — это значит, что число х действительное. Мы помним, что действительные числа можно изображать точками на числовой прямой, которую еще называют действительной осью.
А теперь оказывается, что R — это подмножество множества комплексных чисел С.
Действительные числа еще называют «вещественными». Они описывают наш вещественный мир. В самом деле, натуральные числа применяем для счета предметов. С дробями тоже понятно: половинка яблока или пиццы. С отрицательными числами все знакомы: достаточно зимой посмотреть на градусник за окном. И даже иррациональные числа можно «увидеть»: например, длина окружности радиуса 1 или диагональ квадрата со стороной 1 являются иррациональными числами.
Но где же в мире — мнимые и комплексные числа? Неужели они нужны для описания того, что мы не можем потрогать или посчитать по пальцам?
Комплексная плоскость
Где же находятся мнимые числа, если на числовой прямой для них места нет?
Очень просто. Мнимые числа — на мнимой оси. А комплексные числа вида — на комплексной плоскости.
Каждому комплексному число соответствует точка на комплексной плоскости.
Расстояние от нуля до этой точки называется модулем комплексного числа:
Угол между направлением на эту точку и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа:
Аргумент комплексного числа определен с точностью до
Аналогично в тригонометрии: каждая точка на единичной окружности соответствует бесконечному множеству углов, отличающихся на где k — целое.
— главное значение аргумента
Иногда главное значение аргумента комплексного числа определяют на отрезке
Комплексное число можно записать как в алгебраической форме так и в тригонометрической.
Это тригонометрическая форма записи комплексного числа.
При переходе от алгебраической формы записи к тригонометрической считаем, что принимает значения
Обратите внимание, что в записи число х — действительное.
Задача 1. Запишите число
в тригонометрической форме.
Как видим, для освоения темы «Комплексные числа» надо отлично знать тригонометрию.
Действия над комплексными числами
Два комплексных числа равны друг другу, если равны соответственно их действительные и мнимые части.
Сравнивать комплексные числа нельзя. Операции «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определены.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно-сопряженными. Вот такие:
Возьмем два комплексных числа:
Определим для них операции сложения и вычитания.
Сложение:
Так же, как и для действительных чисел, то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения). Также выполняется ассоциативность сложения, то есть
Еще одно важное свойство:
Это знакомое нам неравенство треугольника.
Вычитание:
— расстояние между точками и
Задача 2. Определите, какая фигура на комплексной плоскости является решением уравнения
Прочитаем это уравнение так же, как мы делали с обычными уравнениями с модулем. Расстояние от точки z до точки 2i равно 1. Это значит, что точки, соответствующие решениям данного уравнения, лежат на окружности с центром в точке радиусом 1.
Если сложение и вычитание комплексных чисел вопросов не вызывают, то для умножения правила не такие очевидные. Вот какой будет формула произведения комплексных чисел:
Например, подставив в эту формулу получим уже знакомое равенство:
Умножение комплексных чисел обладает теми же свойствами, что и умножение действительных:
Но если умножение комплексных чисел настолько сложно — что же делать с возведением в степень? Оказывается, что и умножение, и возведение комплексных чисел в степень удобнее выполнять, записывая числа в тригонометрической форме.
Возведение в степень:
Последнее равенство называется формула Муавра.
Деление комплексных чисел определяем как действие, обратное умножению.
Сложные формулы, не правда ли? Попробуем применить.
Намного удобнее выполнять деление комплексных чисел, записав их в тригонометрической форме:
Во-вторых, для любого выражение принимает ровно различных значений.
Тогда Записав число z в тригонометрической форме, получим:
Обратите внимание — для корня n-ной степени получим различных значений корня.
Задача ЕГЭ-2022, Комплексные числа
Решим задачу из варианта ЕГЭ — 2022 по теме «Комплексные числа».
Про комплексное число известно, что
Найдите наименьшее значение
1 способ.
Расстояния от точки, соответствующей числу z, до точек и должны быть равны. Отметим точки и на комплексной плоскости. Равноудаленными от точек и будут все точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему и По условию задачи, из этих точек надо выбрать такую, для которой принимает наименьшее значение, то есть наименее удаленную от начала координат. Другими словами — найдем расстояние от начала координат до данной прямой.
Это показано на рисунке. Точка Н соответствует комплексному числу z, лежащему на прямой, все точки которой равноудалены от и при этом расстояние от 0 до z — наименьшее. Найдем это расстояние (равное ОН) из прямоугольного треугольника АОВ. Его катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Записав площадь треугольника АОВ двумя способами, получим:
2 способ.
Вернемся к выражению
Запишем его в виде:
Мы получили, что модули двух комплексных чисел равны. Модуль комплексного числа равен Возведя это выражение в квадрат, получим, что Значит, если равны модули двух комплексных чисел и то
и найдем наименьшее значение выражения
Еще несколько задач по теме «Комплексные числа»:
Представьте в тригонометрической форме числа:
