Чтение и запись натуральных чисел
Пройти тест по теме «Натуральные числа и действия над ними» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Для передачи на письме любого числа в понятном для всех виде, мы используем особые знаки, получившие название цифры.
Цифры – это особые знаки, которые мы используем для записи чисел.
Кроме самих знаков, нам понадобится система правил, которая описывает способ наименования и обозначения чисел. Она получила название система счисления или система записи чисел.
Система счисления – это набор правил, который описывает наименование и обозначение чисел на письме при помощи особых знаков: цифр.
Существует много систем счисления, но здесь мы будем рассматривать только ту, которую пользуемся каждый день.
Слово позиционная указывает на то, что значение, роль любой цифры, зависит от места ее расположения в числе.
Слово десятеричная означает, что любое натуральное число записывается на письме при помощи десяти особых символов, то есть, цифр, и их комбинаций:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Запись натурального числа – это его изображение на письме при помощи цифр и системы их записи.
Количество цифр, с помощью которых записано натуральное число, влияет на его название.
Число с тремя, четырьмя, пятью и более цифрами, соответственно, называется трехзначным, четырехзначным, пятизначным и т.д.
Таблица 1. Наибольшие и наименьшие натуральные однозначные и многозначные числа.
Цифра и число – это не одно и то же! Цифра – это всего лишь знак, при помощи которого мы можем записывать числа. Цифр всего лишь десять, а чисел – бесконечное множество. Число может быть записано при помощи цифр (182), и также при помощи слов (сто восемьдесят два).
Рассмотрим запись натурального числа более подробно.
В статье «Названия чисел до тысячи и более» подробно рассказано об устной нумерации чисел, поэтому здесь мы просто воспользуемся этими знаниями.
Запись натуральных чисел в десятеричной системе счисления
Для записи единиц, то есть, однозначного числа, в десятеричной системе счисления используются девять цифр:
нуль при этом означает отсутствие единиц в данной позиции.
Двухзначное число на записи обозначается при помощи приставления слева от цифры, обозначающей количество единиц в числе, соответствующей цифры, выражающей количество десятков единиц в данном числе.
Например, пятьдесят три, то есть, пять десятков и три единицы записывается на письме так: 53, а восемьдесят, то есть, восемь десятков и нуль единиц – 80.
Подобным образом формируется запись любого многозначного натурального числа. К примеру, шестьсот сорок два (шесть сотен, четыре десятка и две единицы) записывается как 642, а двенадцать тысяч пятьсот четыре (двенадцать тысяч, пять сотен, нуль десятков и четыре единицы) – как 12504.
Как вы видите, каждое место, на котором находится цифра, имеет свое особое значение, а именно:
Таблица 2. Значения цифр в зависимости от места в числе.
Таким образом, при записи натурального числа соблюдается следующее правило:
Если в любом числе взять произвольно две расположенные рядом цифры, то левая будет обозначать единицы, которые в десять раз больше, чем те, которые обозначает правая цифра.
Чтение натуральных чисел
Чтобы прочитать натуральное число любой длины, необходимо разбить его справа налево на группы из трех цифр (то есть, на классы), и назвать слева направо количество единиц каждого класса, прибавляя к ним название класса. При этом, не произносят название класса, не имеющего ни одной единицы.
Например, число 18.328.509.000.612 должно быть прочитано так: 18 триллионов 328 миллиардов 509 миллионов 612.
Название класса единиц также обычно не произносят.
§1. Что такое натуральные числа?
1.1.Определение
Числа, применяемые людьми при счете, называются натуральными (например, один, два, три,…, сто, сто один,…, три тысячи двести двадцать один,…) Для записи натуральных чисел используют специальные знаки (символы), называемые цифрами.
В наше время принята десятичная система записи чисел. В десятичной системе (или способе) записи чисел используются арабские цифры. Это десять различных символов-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Наименьшее натуральное число – это число один, оно записывается при помощи десятичной цифры – 1. Следующее натуральное число получается из предыдущего (кроме единицы) добавлением 1 (единицы). Такое добавление можно делать много раз (бесконечное число раз). Это означает, что нет наибольшего натурального числа. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел неограничен или бесконечен, так как он не имеет конца. Натуральные числа записывают при помощи десятичных цифр.
1.2. Число «ноль»
1.3. Запись натуральных чисел
В десятичном способе записи натурального числа каждая цифра может означать различные числа. Это зависит от места этой цифры в записи числа. Определённое место в записи натурального числа называется позицией. Поэтому десятичная система записи чисел называется позиционной. Рассмотрим десятичную запись 7777 числа семь тысяч семьсот семьдесят семь. В этой записи семь тысяч, семь сотен, семь десятков и семь единиц.
Каждое из мест (позиций) в десятичной записи числа называется разрядом. Каждые три разряда объединены в класс. Это объединение производится справа налево (с конца записи числа). Различные разряды и классы имеют собственные названия. Ряд натуральных чисел неограничен. Поэтому количество разрядов и классов также не ограничено (бесконечно). Рассмотрим названия разрядов и классов на примере числа с десятичной записью
38 001 102 987 000 128 425:
Классы и разряды
Итак, классы, начиная с младшего, имеют названия: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.
1.4. Разрядные единицы
Каждый из классов в записи натуральных чисел состоит из трёх разрядов. Каждый разряд имеет разрядные единицы. Следующие числа называются разрядными единицами:
Цифра в каком-либо из разрядов показывает количество единиц данного разряда. Так, цифра 9, в разряде сотен миллиардов, означает, что в состав числа 38 001 102 987 000 128 425 входит девять миллиардов (т.е. 9 раз по 1 000 000 000 или 9 разрядных единиц разряда миллиардов). Пустой разряд сотен квинтиллионов означает, что в данном числе отсутствуют сотни квинтиллионов или их количество равно нулю. При этом число 38 001 102 987 000 128 425 можно записать так: 038 001 102 987 000 128 425.
Можно записать иначе: 000 038 001 102 987 000 128 425. Нули в начале числа указывают на пустые старшие разряды. Обычно их не пишут в отличие от нулей внутри десятичной записи, которыми обязательно отмечают пустые разряды. Так, три нуля в классе миллионов означает, что пусты разряды сотен миллионов, десятков миллионов и единиц миллионов.
1.5. Сокращения в записи чисел
При записи натуральных чисел используются сокращения. Приведём примеры:
1 000 = 1 тыс. (одна тысяча)
23 000 000 = 23 млн. (двадцать три миллиона)
5 000 000 000 = 5 млрд. (пять миллиардов)
203 000 000 000 000 = 203 трлн. (двести три триллиона)
107 000 000 000 000 000 = 107 квдр. (сто семь квадриллионов)
1 000 000 000 000 000 000 = 1 квнт. (один квинтиллион)
Блок 1.1. Словарь
Составьте словарь новых терминов и определений из §1. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите для каждого определения номер термина из списка.
Блок 1.2. Самоподготовка
В мире больших чисел
География (длина)
сотни тысяч _______
десятки миллионов _______
сотни миллионов _______
География (площадь)
Блок 1.3. Диалог с компьютером.
Известно, что большие числа часто используются в астрономии. Приведем примеры. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 тыс. км. Расстояние Земли от Солнца (среднее) составляет 149504 тыс. км, Земли от Марса 55 млн. км. На компьютере с помощью текстового редактора Word создайте таблицы так, чтобы каждая цифра в записи указанных чисел была в отдельной клеточке (ячейке). Для этого выполните команды на панели инструментов: таблица → добавить таблицу → число строк (с помощью курсора ставим «1») → число столбцов (посчитайте сами). Создайте таблицы и для других чисел (блока «Самоподготовка»).
Блок 1.4. Эстафета больших чисел
В первой строке таблицы записано большое число. Прочитайте его. Затем выполните задания: передвигая цифры в записи числа вправо или влево, получайте следующие числа и читайте их. (Нули в конце числа не передвигайте!). В классе эстафету можно проводить, передавая её друг другу.
Строка 2. Все цифры числа в первой строке переместите влево через две клетки. Цифры 5 замените следующей за ней цифрой. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.
Строка 3. Все цифры числа во второй строке переместите вправо через три клетки. Цифры 3 и 4 в записи числа замените следующими цифрами. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.
Строка 4. Все цифры числа в строке 3 переместите на одну клетку влево. Цифру 6 в классе триллионов замените на предыдущую, а в классе миллиардов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.
Строка 5. Все цифры числа в строке 4 переместите через одну клетку вправо. Цифру 7 в разряде «десятки тысяч» замените на предыдущую, а в разряде «десятки миллионов» на последующую. Прочитайте полученное число.
Строка 6. Все цифры числа в строке 5 переместите влево через 3 клетки. Цифру 8 в разряде сотен миллиардов замените на предыдущую, а цифру 6 в разряде сотен миллионов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Просчитайте полученное число.
Строка 7. Все цифры числа в строке 6 переместите вправо на одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах десятков квадриллионов и десятков миллиардов. Прочитайте полученное число.
Строка 8. Все цифры числа в строке 7 переместите влево через одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах квинтиллионов и квадриллионов. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.
Строка 9. Все цифры числа в строке 8 переместите вправо через три клетки. Поменяйте местами две стоящие рядом в числовом ряду цифры из классов миллионов и триллионов. Прочитайте полученное число.
Строка 10. Все цифры числа в строке 9 переместите на одну клетку вправо. Прочитайте полученное число. Выделите цифры, обозначающие год Московской олимпиады.
Блок 1.5. Давайте поиграем
Зажги огонек
1.6. Из истории чисел
Со временем появились системы счисления. Это системы, включающие способы записи чисел и различных действий над ними. Самые древние из известных систем счисления – это египетская, вавилонская, римская системы счисления. На Руси в старину для написания цифр использовались буквы алфавита со специальным знаком
(титло). В настоящее время наибольшее распространение получила десятичная система счисления. Широко используются, особенно в компьютерном мире, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Итак, для записи одного и того же числа можно использовать различные знаки – цифры. Так, число четыреста двадцать пять можно записать египетскими цифрами – иероглифами:
1.7. Римская система счисления
Мерзляк 5 класс — § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел
Вопросы к параграфу
Решаем устно
1. На сколько:
2. Во сколько раз:
3. Вычислите:
4. Назовите пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:
5. Назовите в обратном порядке пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:
6. Назовите все четырёхзначные числа, сумма цифр которых равна 2.
1001, 1010, 1100, 2000
7. Двузначное число оканчивается цифрой 4. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим число 99. Найдите эти два числа.
Запишем известное, как пример в столбик
Ответ: первое искомое число 54, а второе число 45.
Упражнения
17. Назовите разряд, в котором стоит цифра 4 в записи числа:
18. Прочитайте число:
19. Запишите десятичной записью число:
20. Запишите десятичной записью число:
21. Запишите десятичной записью число:
22. Запишите десятичной записью число:
23. Запишите десятичной записью число:
24. Запишите и прочитайте число, которое образуется, если записать число 514 подряд:
25. Запишите и прочитайте число, которое образуется, если записать число 48 подряд:
26. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:
27. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:
28. Запишите число, которое:
29. Запишите наибольшее восьмизначное число, а также следующее и предыдущее числа.
30. Запишите наименьшее семизначное число, а также следующее и предыдущее числа.
31. Двузначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное четырёхзначное число больше данного двузначного числа?
Возьмём три произвольных двузначных числа. Например: 12, 54 и 61. Из них получатся четырехзначные числа: 1 212, 5 454 и 6 161 соответственно. Посчитаем, во сколько раз полученные четырёхзначные числа больше исходных двузначных:
Такое соотношение будет справедливо для всех без исключения двухзначных чисел.
32. Трёхзначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное шестизначное число больше данного трёхзначного числа?
Возьмём три произвольных трёхзначных числа. Например: 352, 423 и 801. Из них получатся шестизначные числа: 352 352, 423 423 и 801 801.
Посчитаем, во сколько раз полученные шестизначные числа больше исходных трёхзначных:
Такое соотношение будет справедливо для всех без исключения трёхзначных чисел.
33. В книге пронумерованы страницы с первой по сто семьдесят вторую. Сколько цифр напечатано при нумерации страниц?
Посчитаем, сколько в книге страниц с однозначными номерами, с двузначными и с трехзначными номерами:
Теперь найдём сумму цифр, использованных для однозначных, двузначных и трёхзначных номеров:
9 + 180 + 219 = 408 (цифр) — напечатано при нумерации книги.
34. Для нумерации страниц книги напечатано 2 004 цифры. Сколько страниц в этой книге?
Допустим, что нумерация в книге начинается с 1 страницы.
Для того, чтобы пронумеровать все страницы с однозначными номерами (с 1 по 9) потребуется 9 цифр:
1) 1 • 9 = 9 (цифр) — использовано для нумерации страниц с однозначными номерами.
Для того, чтобы пронумеровать все страницы с двузначными номерами (с 10 по 99) потребуется 180 цифр:
2) 2 • 90 = 180 (цифр) — использовано для нумерации страниц с двузначными номерами.
3) 2 004 — 180 — 9 = 1 815 (цифр) — осталось для нумерации остальных страниц.
Максимально возможное число страниц с трёхзначными номерами (с 100 по 999) — 900 штук. На такое количество страниц потребовалось бы 2700 цифр
4) 3 • 900 = 2 700 (цифр) — потребуется для нумерации максимального количества страниц с трёхзначными номерами.
6) 1 815 : 3 = 605 (страниц) — количество страниц с трёхзначными номерами.
Сложим количество страниц с однозначными, двузначными и трёхзначными номерами:
7) 9 + 90 + 605 = 704 (страницы) — в книге.
Ответ: в книге 704 страницы.
35. Каких трёхзначных чисел больше: все цифры которых чётные или все цифры которых нечётные?
Все трёхзначные числа состоят их трёх цифр:
Если использовать для написания только чётные цифры, то:
Если использовать для написания только нечётные цифры, то:
Для того, чтобы узнать сколько трёхзначных чисел можно написать только чётными или только нечётными цифрами, надо перемножить количество всех возможных вариантов обозначения сотен, десяткой и единиц.
125 > 100, значит больше трёхзначных чисел, в записи которых используются только нечетные цифры.
Ответ: больше трёхзначных чисел, в записи которых используются только нечетные цифры.
Упражнения для повторения
36. Вычислите:
37. Выполните действия:
38. Первый полёт в космос совершил в 1961 г. гражданин Советского Союза Юрий Гагарин. Через восемь лет после этого на Луну ступил первый человек — гражданин США Нейл Армстронг. Ещё через 31 год на Международной космической станции (МКС) начал работать первый экипаж. Сколько лет работают космонавты на МКС?
1) 1961 + 8 = 1969 (год) — год первого полёта человека на Луну.
2) 1969 + 31 = 2000 (год) — год начала работы первого экипажа на Международной космической станции МКС.
3) 2020 — 2000 = 20 (лет) — космонавты работают на Международной космической станции МКС.
39. Масса булавы Ильи Муромца равна 60 пудов, а его меча — в 12 раз меньше. Какова общая масса булавы и меча Ильи Муромца?
1) 60 : 12 = 5 (пудов) — масса меча Ильи Муромца.
2) 60 + 5 = 65 (пудов) — общая масса меча и булавы.
Комментарий: Пуд — это единица измерения веса предметов, применявшаяся на Руси в старину. В пересчёте на килограммы 1 пуд примерно равен 16,4 килограмма. Так что если поверить условию задачи, то булава Ильи Муромца весила больше 982 килограммов, а его меч весил почти 82 килограмма! Ничего не скажешь, настоящий богатырь:)
40. Чтобы помочь заболевшему Карабасу-Барабасу, Дуремар решил поставить ему пиявки. Для первой процедуры он использовал 24 пиявки, а для второй — в 3 раза больше. Сколько всего пиявок понадобилось Дуремару, чтобы вылечить Карабаса-Барабаса?
1) 24 • 3 = 72 (пиявки) — понадобилось для второй процедуры.
2) 24 + 72 = 96 (пиявок) — всего понадобилось для лечения.
41. Вертолёт за 4 ч может пролететь 720 км. Какое расстояние он пролетит за 6 ч с той же скоростью?
Составим краткую запись в виде таблицы:
1) 720 : 4 = 180 (км/ч) — скорость движения вертолёта.
2) 180 • 6 = 1 080 (км) — пролетит вертолёт за 6 часов.
42. За три дня кузнец Вакула изготовил 432 подковы. Сколько подков он изготовит за пять дней, работая с такой же производительностью?
1) 432 : 3 = 144 (подковы/день) — производительность кузнеца Вакулы.
2) 144 • 5 = 720 (подков) — Вакула изготовит за 5 дней.
Задача от мудрой совы
43. В этом году день рождения отца был в воскресенье. В какой день недели праздновала свой день рождения мать, если она на 62 дня моложе отца?
Мы знаем, что каждая неделя состоит из 7 дней:
Это значит, что 62 дня — это 8 полных недель и 6 дней. До полной недели не хватило 1 дня, то есть день рождения мамы был за один день до воскресенья — в субботу.
Понятие о натуральном числе
Натуральные числа и десятичная запись числа
Чтобы сосчитать некоторое количество предметов, используются числа, которые называют натуральными.
С помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое натуральное число. (подобным образом мы используем буквы алфавита, чтобы записать слова)
Такую запись числа называют десятичной ‒ десять единиц каждого разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.
Натуральный ряд
Если натуральные числа записать в порядке возрастания, то получится ряд натуральных чисел ‒ натуральный ряд.
Каждое число в этом ряду меньше последующего на единицу. Наименьшее число среди натуральных чисел — это 1, а наибольшего числа нет.
Многозначные числа
Натуральное число называют однозначным, если его запись состоит из одного знака — одной цифры.
Например, числа 3, 7, 9 — однозначные.
Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.
Например, числа 25, 44, 65, 80 — двузначные.
Числа 100, 543, 888 — трёхзначные:
Числа 2000, 6791, 1060 — четырёхзначные и т. д.
Двузначные, трехзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. — это многозначные числа.
Классы и разряды
Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.
Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.
Эти группы называют классами.
Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.
Место, занимаемое цифрой в записи числа, называют разрядом.
Если считать справа налево, то первое место в записи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.
Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц разряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.
Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.
Названия некоторых больших чисел
1 тысяча (1 тыс.) – 1 000 (тысяча)
1 миллион (1 млн) – 1 000 000 (тысяча тысяч)
1 миллиард (1 млрд) – 1 000 000 000 (тысяча миллионов)
1 триллион (1 трлн) – 1 000 000 000 000 (тысяча миллиардов)
Рассмотрим число 6 000 126 754.
Его читают: 6 миллиардов 126 тысяч семьсот пятьдесят четыре.
В классе миллионов во всех разрядах стоят нули. Поэтому при чтении числа 6 000 126 754 не произносят название этого класса.
Примеры прочтения чисел:
а) Число 200 700 читается так: двести тысяч семьсот;
б) Число 6 000 008 читается так: шесть миллионов восемь;
в) Число 14 000 002 000 читается так: четырнадцать миллиардов две тысячи.
Значение цифры в записи числа
Значение цифры зависит от её позиции (места) в записи числа.
Например, в записи числа 56 978 цифра 8 означает 8 единиц, так как она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);
В записи числа 42 389 цифра 8 означает 8 десятков, так как она стоит на предпоследнем месте в записи числа (в разряде десятков);
В записи числа 5 300 847 цифра 8 означает 8 сотен, так как она стоит на третьем месте от конца в записи числа (в разряде сотен).
Число 0 и цифра 0
Число 0 натуральным не является.
Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль» (что означает ‒ «ни одного»).
(Например, счёт 1 : 0 хоккейного матча говорит о том, что вторая команда не забила ни одной шайбы в ворота противника.)
Поделись с друзьями в социальных сетях:
