каким правильным многоугольником нельзя замостить плоскость
Замощения
Несложно замостить плоскость паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников (под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне). Примеры таких замощений приведены на рис. 1.
Никакими другими правильными n-угольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n – 2) · 180°. Поскольку все углы правильного n-угольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть . Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому . После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: . Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 или k = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.
А какими другими многоугольниками можно замостить плоскость без пробелов и наложений?
Задача
а) Докажите, что любым треугольником можно замостить плоскость.
б) Докажите, что любым четырёхугольником (как выпуклым, так и невыпуклым) можно замостить плоскость.
в) Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость.
г) Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость.
д) Приведите пример n-угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.
Подсказка 1
В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.
Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.
Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.
Подсказка 2
В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.
Решение
Примеры ответов изображены на рисунках.
в) Подойдет пятиугольник в форме домика:
г) Такими шестиугольниками плоскость замостить не получится: в «вырезанный» угол просто не влезет полностью никакая часть такого шестиугольника. По клеточкам это хорошо видно:
Можно придумать еще множество других шестиугольников, которыми нельзя замостить плоскость.
д) Вот пример двенадцатиугольника, которым можно замостить плоскость. Этот способ замощения получен как модификация обычной квадратной решетки (см. рис. 1, ii из условия):
Послесловие
Задача замощения плоскости одинаковыми фигурками без пробелов и наложений известна с древних времен. Один из ее частных случаев — вопрос о том, какими могут быть паркеты (то есть замощения плоскости правильными многоугольниками, причем не обязательно одинаковыми) и, в частности, правильные паркеты. Правильный паркет обладает таким свойством: при помощи параллельных переносов (сдвигов без вращений), которые переводят паркет в себя, можно совместить заранее выбранный узел с любым другим узлом паркета. На рис. 1 из условия изображены как раз правильные паркеты.
Не слишком сложно доказать, что существует всего 11 различных типов правильных паркетов (см. List of uniform tilings). Доказывается это примерно так же, как мы в условии задачи доказывали, что есть всего три типа паркета из одинаковых правильных многоугольников — градусные меры углов каждого правильного многоугольника известны, нужно лишь подобрать их так, чтобы в сумме получалось 360°, а это делается просто небольшим перебором вариантов. Существует много древних мозаик, в основу которых положены эти паркеты.
Мозаики из глины, камня и стекла (и паркеты из дерева и кафеля) — наиболее известное и понятное применение данной теории в жизни. Многие из нас могут убедиться в этом, зайдя к себе на кухню или в ванную. Будущие дизайнеры специально изучают математические паркеты, ведь они и их вариации часто используются в архитектуре и декоре.
Замощения встречаются и в природе. Кроме всем известных пчелиных сот наиболее яркие примеры — это геологические образования на мысе Столбчатом (остров Кунашир, большая гряда Курильских островов) и «Дорога гигантов» в Северной Ирландии.
Обобщение нашей задачи — замощение пространства — современный важный раздел кристаллографии, играющий важную роль в интегральной оптике и физике лазеров.
Как ни странно, до относительно недавних времен были известны только периодические замощения (которые полностью совмещаются с собой при некотором сдвиге и его повторениях). Однако в 1974 году английский ученый Роджер Пенроуз придумал непериодические мозаики, которые теперь называют в его честь мозаиками Пенроуза. Позднее (в 1984 году) подобные непериодические структуры были открыты в квазикристаллах.
На странице Penrose Tilings можно найти много примеров мозаик Пенроуза с подробным описанием всех тонкостей их получения.
Паркеты и мозаики встречаются и в изобразительном искусстве. Пожалуй, наиболее известны работы голландца М. К. Эшера (M. C. Escher).
Замощения
Несложно замостить плоскость паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников (под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне). Примеры таких замощений приведены на рис. 1.
Никакими другими правильными n-угольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n – 2) · 180°. Поскольку все углы правильного n-угольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть . Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому . После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: . Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 или k = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.
А какими другими многоугольниками можно замостить плоскость без пробелов и наложений?
Задача
а) Докажите, что любым треугольником можно замостить плоскость.
б) Докажите, что любым четырёхугольником (как выпуклым, так и невыпуклым) можно замостить плоскость.
в) Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость.
г) Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость.
д) Приведите пример n-угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.
Подсказка 1
В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.
Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.
Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.
Подсказка 2
В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.
Французский математик решил задачу о замощении плоскости
Пример замощения на гиперболической плоскости
Французский математик Михаэль Рао из Лионского университета закончил решение задачи о замощении плоскости выпуклыми многоугольниками. Препринт работы можно посмотреть на странице ученого.
Многоугольник называется выпуклым, если все его углы меньше 180 градусов или, что то же самое, вместе с любой парой точек такой многоугольник содержит и отрезок, их соединяющий. Задача о замощении (еще ее называют задачей о паркете) формулируется так: пусть плоскость разбита на многоугольники так, что любые два многоугольника либо не имеют общих точек, либо имеют только граничные общие точки. Если все многоугольники такого разбиения одинаковы (то есть один в другой можно перевести композицией сдвига, поворота или осевой симметрии), то говорят, что многоугольник замощает плоскость. Задача звучит так: описать все выпуклые многоугольники, замощающие плоскость.
Используя некоторые комбинаторные рассуждения, можно доказать, что у такого многоугольника может быть только 3, 4, 5 или 6 сторон. Легко проверяется, что плоскость можно замостить любым трех- и четырехугольником. Об этом подробнее можно прочитать в нашем материале «Пять углов».
Чтобы описать все шестиугольники, обозначим их углы как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы было доказано, что все шестиугольники, которыми можно замостить плоскость, принадлежат как минимум одному из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :
Все 15 известных пятиугольных замощений
Самый сложный случай — случай пятиугольного паркета. В 1918 году математик Карл Райнхардт описал пять классов таких паркетов, простейшим из которых был класс пятиугольников с условием, что найдется сторона, сумма примыкающих к которой углов равна 180 градусам. В 1968 году Роберт Кершнер нашел еще три таких класса, а в 1975 году Ричард Джеймс нашел еще один. Про открытие Джеймса написал журнал Scientific American, статью в нем увидела американская домохозяйка и математик-любитель Мардж Райс, которая вручную за 10 лет нашла еще 5 семейств.
Последнее продвижение в задаче о замощении произошло в августе 2015 года. Тогда математики из филиала Вашингтонского университета в Ботелле с помощью компьютерной программы нашли 15-й класс пятиугольных паркетов. В своей новой работе Михаэль Рао свел задачу классификации пятиугольных паркетов к перебору 371 вариантов. Варианты он перебрал на компьютере и показал, что ничего, кроме 15-ти уже известных классов замощений, не существует. Тем самым он окончательно закрыл задачу о замощении.
Свежее
Шведы представили пилотируемый гоночный дрон
Китайцы представили электромобиль с лидарами и запасом хода в 700 километров
Антропологи нашли слепки утерянных во время войны окаменелостей неандертальца
Жако превзошли ара по самоконтролю
Позитроны охладили смешиванием с ионами бериллия
Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.
masterok
Мастерок.жж.рф
Хочу все знать
Парке́т — замощение плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий, в котором любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек.
Математики из Вашингтонского университета в Ботелле открыли новый тип пятиугольных паркетов —выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость без пробелов и наложений. Ранее было известно только 14 типов таких пятиугольников, последний из которых был открыт 30 лет назад. Об этом сообщает издание The Guardian.
Нет, на фото это конечно не он. Вот про него подробее …
Проблема нахождения и классификации паркетных многоугольников является одной из наиболее актуальных в современной комбинаторной геометрии. Известно, что любым треугольником и четырехугольником можно замостить плоскость, а также то, что существуют только три типа выпуклых шестиугольников, способных выполнить такую же задачу.
Фигурами, имеющими более шести сторон, замостить плоскость невозможно. Математикам в настоящее время не известно точное число типов пятиугольников, способных замостить плоскость.
Первую классификацию таких пятиугольников осуществил к 1918 году математик Карен Рейнхард, описавший пять типов фигур. В период с 1968 по 1985 год четырьмя другими учеными были найдены еще девять типов аналогичных многоугольников. Открытие американскими учеными 15-го типа пятиугольников стало первым за последние 30 лет.
«Проблема классификации выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, является красивой и достаточно простой математической задачей, доступной для понимания даже детям. Эта проблема уже в течение ста лет не имеет полного решения», — сказал один из открывших 15-й тип выпуклого пятиугольника математик Кейси Манн. Он же отметил связь этой задачи с 18-й проблемой Гильберта.
Манн также отметил, что пока не знает, найдут ли он и его коллеги новые типы пятиугольников, которые могут замостить плоскость. С этой целью математики собираются продолжить свои исследования, представляющие собой перебор на компьютере существующих возможностей.
Как замечает Манн, исследование пятиугольных фигур представляет не только академический, но и практический интерес. «Многие структуры, которые мы видим в природе, например капсиды вирусов, состоят из специальным образом формирующих свою геометрию и динамику строительных блоков, объединяющихся вместе для формирования структуры большего масштаба», — говорит математик.
Пять углов
Ликбез в честь решения задачи о пятиугольных замощениях
Изображение: Casey Mann
Недавно математикам из Вашингтонского университета в Ботелле удалось обнаружить новый тип пятиугольного паркета. Он стал пятнадцатым, известным на настоящий момент. Мы предлагаем читателю разобраться в том, что это вообще за паркеты такие и какие у них есть замечательные свойства.
UPD. Эта статья была написана в 2015 году, когда было открыто 15-е семейство пятиугольников, которые могут замостить плоскость. В июле 2017 года стало известно, что француз Михаэль Рао доказал, что ничего, кроме этих семейств, нет. В частностиработаРао заканчивает классификацию замощений выпуклыми многоугольниками.
Начнем, собственно, с понятия паркета, которое еще называют замощением. Паркетом называют разбиение плоскости на многоугольники так, что любые две фигуры пересекаются либо по целой стороне, либо по вершине, либо не пересекаются вообще. Разумеется, придумать таких разбиений можно очень много, но нас будут интересовать только достаточно симметричные паркеты.
Самый простой тип паркета, называемый платоновым, — это паркет из правильных n-угольников, то есть многоугольников, у которых все углы и все стороны равны.
Забавно, что если отказаться от условия правильности многоугольника, и, скажем, рассмотреть паркеты, составленные только из выпуклых многоугольников (то есть многоугольников, у которых все углы меньше 180 градусов), то выяснится, что сторон в таких многоугольниках все равно не может быть больше шести. Доказывается это, впрочем, несколько сложнее. Если отказаться от условия выпуклости, то семиугольник вполне может замощать плоскость.
Изображение: Wikimedia Commons
Что касается разрешенных для паркета многоугольников, то про них можно сказать вот что. Замостить плоскость можно любым треугольником — достаточно составить из него и повернутой копии параллелограмм. Произвольный четырехугольник на роль паркета также подходит.
С шестиугольниками все любопытнее. Например, можно взять платоново замощение и начать его растягивать по одному из направлений. В результате получится паркет из уже не правильных шестиугольников. Оказывается, впрочем, что такое растягивание (как и некоторые, более хитрые преобразования) сохраняет фиксированный набор свойств.
Чтобы описать их, обозначим углы шестиугольника как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы прошлого века была доказана замечательная теорема: шестиугольником можно замостить плоскость тогда и только тогда, когда он принадлежит одному или более из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :
Долгое время этот список считался полным, пока в 1968 году Роберт Кершнер вдруг не обнаружил еще три таких класса. В 1975 году математик Ричард Джеймс увеличил это число до девяти. Тут в истории начинается самое интересное — об открытии Джеймса написал журнал Scientific American. Статью увидела Мардж Райс, американская домохозяйка и по совместительству математик-любитель. Разработав собственную систему записи пятиугольных замощений она за 10 лет довела их количество до 14.
Изображение: Wikimedia Commons
И вот, наконец, спустя 30 лет ученые из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-е замощение. Сделали они это с помощью компьютера: в этом университете проект по численному изучению замощений с участием студентов ведется уже несколько лет. Один из участников группы, Кейси Манн признается, что сделано это было с помощью достаточно большого перебора. То есть никакого серьезного продвижения за этим открытием не стоит.
Замощения с единственной выпуклой плиткой — не единственные и, пожалуй, не самые любопытные. Если разрешить использовать в паркете несколько плиток, то свойства замощения станут интереснее. Если все эти плитки — правильные многоугольники, то уже для конечного набора плиток существует бесконечное число таких замощений.
Чтобы получить что-то любопытное, можно попытаться сузить класс паркетов. Такое сужение хорошо известно и называется однородными замощениями. Однородным называется паркет, в котором подходящим преобразованием плоскости (поворотом и сдвигом то есть) любую вершину паркета можно перевести в любую другую. В каком-то смысле в таком паркете все вершины равноправны, а глобальное устройство паркета является следствием его локальной структуры.
Заметим, что упоминавшиеся ранее платоновы замощения являются однородными. Так вот, помимо этих трех существует еще восемь однородных замощений, состоящих из правильных многоугольников. Их еще называют архимедовыми замощениями.
Изображение: Wikimedia Commons
Наконец, самый экзотический класс — это непериодические и апериодические замощения. Как ни странно, но эти два термина обозначают разные классы математических объектов. В первом случае разбиение, о котором идет речь, не должно иметь трансляционной симметрии. Это означает, что разбиение такое хитрое, что нет вектора, сдвиг на который переводил бы это разбиение в себя.
Приведем два таких непериодических примера. Первый паркет — это замощение сфинкса. Сфинксом называют невыпуклый пятиугольник, который получается из шести правильных треугольников. Штука в том, что и из четырех одинаковых сфинксов можно склеить сфинкса, который будет подобен (в смысле подобных треугольников) исходному. Повторяя этот процесс (как показано на этой гифке), можно построить самоподобное замощение плоскости.
Другой пример непериодического паркета — замощение Фодерберга. Оно состоит из невыпуклых девятиугольников. Замощение стартует с одного многоугольника, затем вокруг двух его вершин конгруэнтные многоугольники выкладываются спиралью. Со временем ветви спирали раскручиваются и получается непериодическое замощение.
Оба примера роднит то, что в обоих случаях из того же набора плиток можно составить периодические замощения (это предлагается проверить читателю в качестве задачи). Апериодическим замощением называется паркет, исполненный таким набором плиток, что из них нельзя сложить ни одно периодическое замощение. Самое, пожалуй, известное апериодическое замощение — это мозаика Пенроуза, состоящая из двух плиток.
Существуют ли апериодические замощения из одной плитки — этот вопрос до сих пор открыт. Единственное, что, как уже говорилось выше, если такие замощения и существуют, то они должны быть пятиугольными.
. Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому 
. После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: 
. Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 или k = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.
Подсказка 1
. Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому 
. После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: 
. Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 или k = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.
masterok 
