Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Источник

Всё про окружность и круг

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Источник

Задания с параметрами, окружности

Задания с параметром Окружности

ВВЕДЕНИЕ Задания с параметрами представляют наибольшую трудность у выпускников школ. В учебных программах по математике общеобразовательных школ задачам с параметрами отводится незначительное место. Эти задачи обладают высокой позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности. Решение задач с параметрами требует наличия определенной математической культуры. В данной работе представлены материалы по теме «Решение задач с параметром в 7-9 классах». Эту работу можно использовать на уроках алгебры как в классах с базовым уровнем, так и в классах с расширенным или углубленным изучением алгебры. Работа будет интересна учителям при объяснении нового материала, а также при формировании навыков решения задач с параметром. Для учащихся эта работа может быть пособием при самостоятельном изучении данной темы.

Существуют два основных способа решения заданий с параметрами: аналитический и графический. В моей работе упор сделан на графическом способе, причем показать примеры решения задач, в которых присутствуют системы уравнений или неравенств с окружностями. Были использованы различные ресурсы, в которых были разобраны задания с параметром. В работе представлены графические способы решения систем уравнений и неравенств с параметром. Для того, чтобы научиться решать такие задания, необходимо иметь хорошую базовую подготовку по основному школьному курсу, знать алгоритмы решения заданий с параметрами. Какими знаниями и умениями нужно обладать, прежде чем начать решать такие задания? Нужно знать «в лицо» все элементарные школьные функции, уметь изображать решения уравнений и неравенств в координатной плоскости. Нужно уметь строить семейства различных линий: у = kх + а, у = х + а, у = ах, у = |x| + a; y = 3) Уметь производить преобразования графиков (параллельный перенос вдоль координатных осей, растяжение и сжатие).

Алгоритм решения задач с параметром графическим методом заключается в следующем: Преобразовываем исходное условие задачи к системе уравнений или неравенств для того, чтобы можно было изобразить графически решения уравнений или неравенств. Найти область допустимых значений переменной и параметра. Вводим систему координат (х; у) или (х; а). Изображаем в выбранной координатной плоскости фигуру, которая задается множеством решений уравнения или неравенства или их системы. Проанализировать изменения графиков в зависимости от параметра. Записать ответ, удовлетворяющий условию задачи. Перед разбором заданий предлагаю подготовительную работу – познакомиться с еще некоторыми видами линий и множеством точек.

5. Уравнение задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом 7. Уравнение при положительных a, b и c задает ромб с центром в начале координат (, ; диагональ лежит на оси ординат, диагональ лежит на оси абсцисс). 8. Уравнение при положительном с задает квадрат с центром в начале координат (d = 2c).

Задание 2. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение. 1) Если (5;4) и радиусом, равным 3. 2) Если (5;4) и радиусом, равным 3. (1) (2) 3) Если (;0) и радиусом, равным а. (3) Решение:

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность (3) касается ровно одной из двух окружностей (1) или (2) и не пересекается с другой. При а 0, то (1) (2) )=0 График – окружность, центр (0;2), радиус = 2 2) Если х = 0, то равенство верно, т.е. График – множество точек, у которых х = 0 3) Если х 0 график – окружность с центром (2; 0) и радиусом При а = 4 получится точка (2; 0), но она не попадает в области, заданные неравенством (1). Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев: Если окружность коснется границы области y=−2x+8. Окружность проходит через точку (1; 1)

2 случай: Окружность проходит через точку (1; 1) Значит, а = 2 Расстояние между точкой О и (1; 1) равно радиусу: По формуле расстояния между точками расстояние между точкой О (2; 0) и (1; 1) равно Получим уравнение: Ответ:

Задание 10. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух возможных решений. (1) (2) (1): (*) (**) Решение: (*): (= 17 окружность с центром (4; 4), радиусом С учетом условия (получится дуга с концами в точках (5; 0) и (0; 5) (**): (= 97 окружность с центром (4; 4), радиусом С учетом условия (получится дуга с концами в точках (5; 0) и (0; 5) (2): прямая у = ах 5 проходит через точку (0; 5)

Прямые (1) и (2) касаются окружности (*) с центром в точке Найдем значения а для прямой (1): Так как прямая и окружность касаются, то есть имеют одну точку пересечения, то полученное уравнение должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю: D = D = 0, если а = 0; а = Для выполнения условия прямая у = ах +1 должна находиться между прямыми (4) и (1) или между прямыми (3) и (2) Прямые (3) и (4) касаются окружности (**) с центром в точке Найдем значения а: D = D = 0, если Ответ:

Найдем координаты точек пересечения прямых у = х и у = 2 – х с окружностью. А(3; 3), В(– 2; – 2); С(– 2; 4); D(3; – 1) C M Найдем координаты точки М – точки касания прямой 3у = 2х + а с окружностью. 13 D = 160) D = 0, если а = 16; а = Т.к. а

Источник

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Определения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Свойства касательной

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

Источник

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины

Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

Свойства окружности

Теорема о касательной и секущей

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

Длины и площади

Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольник

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

Окружность и четырехугольники

Источник