Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:
Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник
Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.
Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.
Рис. 3. Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.
Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Свойства правильного восьмиугольника:
1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.
2. Все углы равны между собой и составляют 135°.
Рис. 4. Правильный восьмиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.
Рис. 5. Правильный восьмиугольник
5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.
Рис. 6. Правильный восьмиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный восьмиугольник
Формулы правильного восьмиугольника:
Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.
Формула константы правильного восьмиугольника:
Формула периметра правильного восьмиугольника:
Формулы площади правильного восьмиугольника:
Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:
Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:
Формулы стороны правильного восьмиугольника:
Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.
Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt<\displaystyle kt>, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
Площадь правильного восьмиугольника:
Через сторону восьмиугольника
Через радиус описанной окружности
Через апофему (высоту)
Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.
Рис. 3. Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.
Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.
Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Литература
Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.
Применение восьмиугольников
Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»
Восьмиугольный план Купола Скалы
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Построение
Точное построение
Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
Проводим её диаметр AB.
Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
Отмечаем точку E — середину DO.
Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N
Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
Строим касательную к k₃ через N.
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Признаки и свойства
Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:
Стороны равны между собой.
Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.
Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:
Равенство сторон.
Углы равны по 108 градусов.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
Количество диагоналей соответствует 5.
Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.
Другие восемнадцатиугольники фигуры
Звёздчатые 18<\displaystyle 18>-угольники имеют символы <18n><\displaystyle \<18/n\>>. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: 185<\displaystyle <18/5>> и <187><\displaystyle \<18/7\>>. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: <182><\displaystyle \<18/2\>> эквивалентен 2<9><\displaystyle 2\<9\>> (двум девятиугольникам), <183><\displaystyle \<18/3\>> эквивалентен 3<6><\displaystyle 3\<6\>> (трём шестиугольникам), <184><\displaystyle \<18/4\>> и <188><\displaystyle \<18/8\>> эквивалентны 2<92><\displaystyle 2\<9/2\>> и 2<94><\displaystyle 2\<9/4\>> (двум эннеаграммам), <186><\displaystyle \<18/6\>> эквивалентен 6<3><\displaystyle 6\<3\>> (6 <\displaystyle 6>равносторонним треугольникам), и, наконец, <189><\displaystyle \<18/9\>> эквивалентен 9<2><\displaystyle 9\<2\>> (девять двуугольников).
★ Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник-это символ shlafly <8>и может быть построен как усеченный квадрат quasiparabolic, t<4>, которые перемежаются с двумя типами граней. Усеченный октаэдр t <8>это shestnadcatiletnim t<16>.
1. Свойства. (Properties)
2. Формулы расчета параметров правильного восьмиугольника. (The formulas for calculating the parameters of a regular octagon)
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим срезать углы квадрата со сторонами k t (к) <\свойства стиль отображения значение kt>, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
Через сторону восьмиугольника
S = 2 k t 2 = 2 1 (С = 2 к Т 2 = 2 1) + 2 t 2 ≃ 4.828 t 2. <\displaystyle S=2kt^<2>=21+<\sqrt <2>>t^<2>\simeq 4.828\,t^<2>. >
Через радиус описанной окружности
S = 4 sin (Ы = 4 грех) π 4 R 2 = 2 R 2 (4 Р 2 = 2 Р 2) ≃ 2.828 R 2 (2.828 Р 2). <\displaystyle S=4\sin <\frac <\pi ><4>>R^<2>=2<\sqrt <2>>R^<2>\simeq 2.828\,R^<2>. >
Через высота АПОФЕМА
A = 8 tan (А = 8 Тан) π 8 r 2 = 8 2 (8 р 2 = 8 2) − 1 r 2 (1 р 2) ≃ 3.314 r 2 (3.314 Р 2). <\displaystyle A=8\tan <\frac <\pi ><8>>r^<2>=8<\sqrt <2>>-1r^<2>\simeq 3.314\,r^<2>. >
3. Квадрат через квадрат. (Square through square)
Площадь также можно вычислить в виде усеченного квадрата
Если установить боковые a, длина A равна
Тогда площадь равна:
S = 1 (С = 1) + 2 a) 2 − a 2 = 2 1 (в 2 = 2 1) + 2 a (2 в 2) ≈ 4.828 a 2 (4.828 в 2). <\displaystyle S=1+<\sqrt <2>>a)^<2>-a^<2>=21+<\sqrt <2>>a^<2>\approx 4.828a^<2>. >
Площадь через A ширина восьмиугольника
S = 2 (Ы = 2 2) − 1 A 2 (1 в 2) ≈ 0.828 A 2 (0.828 в 2). <\displaystyle S=2<\sqrt <2>>-1A^<2>\approx 0.828A^<2>. >
Еще одна простая формула для площади:
Часто значение A как известно, в то время как стоимость стороне a должны быть найдены, например, при резке из квадратного куска материала углах для получения регулярного восьмиугольника. выше формул имеем
Две стороны прямоугольного треугольника можно получить по формуле
4. Симметрия. (Symmetry)
Правильный восьмиугольник имеет симметрию группы Dih 8 (Диг 8) приказ 16. а 3 диэдральных групп Dih 4 (Диг 4), Dih 2 (Диг 2) и Dih 1 (Диг 1), а также 4 циклические подгруппы- Z 8 (З 8), Z 4 (З 4), Z 2 (З 2) и Z 1 (З 1). последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.
Каждой симметрии подгруппа содержит одну или несколько степеней свободы для неправильной формы. только подгруппу g8 не имеет степеней свободы, но могут рассматриваться как имеющие ребра ориентированы.
5. Резка правильного восьмиугольника. (Cutting a regular octagon)
6. Использование восьмиугольника. (The use of the octagon)
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах, в том числе и в России, как и во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольной формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план, Башня ветров в Афинах-это еще один пример восьмигранной структурой. восьмиугольный план также встречается в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия в Аддис-Абебе, Сан-Витале в Равенне, Италия, Кастель дель Монте Апулия, Италия, баптистерий и восьмиугольная Церковь Норвегии. центральное место в Аахене собор, часовня Карла Великого были планы в форме правильного восьмиугольника.
7. Производные формы. (Derived forms)
Связанные многогранники. (Related polyhedra)
Восьмиугольник в виде усеченного Квадрата, является первым в последовательности усеченных гиперкубы:
Восьмиугольник как натянутая площади является первым в последовательности растягивается гиперкубы:
СОДЕРЖАНИЕ
Свойства общего восьмиугольника
Сумма всех внутренних углов любого восьмиугольника составляет 1080 °. Как и у всех многоугольников, внешние углы составляют 360 °.
Если все квадраты построены изнутри или снаружи на сторонах восьмиугольника, то середины сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют четырехугольник, который является как равдиагональным, так и ортодиагональным (то есть, диагонали которого равны по длине и расположены справа). углы друг к другу).
Середина восьмиугольник ссылочного восьмиугольника имеет свои восемь вершин на серединах сторон опорного восьмиугольника. Если все квадраты построены внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника средней точки, то средние точки сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, сами образуют вершины квадрата.
Правильный восьмиугольник
Область
Площадь правильного восьмиугольника со стороной а определяется выражением
В терминах апофемы r (см. Также вписанный рисунок ) площадь равна
Площадь также можно выразить как
Таким образом, пролет равен соотношению серебра, умноженному на сторону a.
Тогда область будет такой, как указано выше:
Выраженная в размахе, площадь равна
Еще одна простая формула для площади:
Циркумрадиус и внутренний радиус
Описанной окружности регулярного восьмиугольника с точки зрения длиной стороны а является
Диагонали
С точки зрения длины стороны a правильный восьмиугольник имеет три различных типа диагоналей :
Формула для каждого из них следует из основных принципов геометрии. Вот формулы для их длины:
Конструкция и элементарные свойства
Правильный восьмиугольник в данной описанной окружности может быть построен следующим образом:
Правильный восьмиугольник можно сконструировать из металлических брусьев. Требуется двенадцать стержней размера 4, три стержня размера 5 и два стержня размера 6.
Каждая сторона правильного восьмиугольника образует половину прямого угла в центре круга, соединяющего его вершины. Таким образом, его площадь можно вычислить как сумму 8 равнобедренных треугольников, что приведет к результату:
Область знак равно 2 а 2 ( 2 + 1 ) <\ displaystyle <\ text > = 2a ^ <2>(<\ sqrt <2>> + 1)> 
Стандартные координаты
Координаты вершин правильного восьмиугольника с центром в начале координат и длиной стороны 2:
Расслоение
 Тессеракт |  4 ромба и 2 квадрата |
Наклонный восьмиугольник
Полигоны Петри
Симметрия восьмиугольника
 | 11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии отражений синие по вершинам, пурпурные по краям, а порядок вращения указан в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. |
 r16 | ||
|---|---|---|
 d8 |  g8 |  p8 |
 d4 |  g4 |  p4 |
 d2 |  g2 |  p2 |
 а1 | ||
Использование восьмиугольников
Другое использование
Зонты часто имеют восьмиугольный контур.
В знаменитом ковре «Бухара » использован мотив восьмиугольной «слоновьей ноги».
Улица и блок макет Барселона «s Эшампль района базируются на нерегулярных восьмиугольниках
Чанги использует восьмиугольные фигуры.
Японские лотереи часто имеют восьмиугольную форму.
Знак «Стоп» используется в англоязычных странах, а также в большинстве европейских стран.
Значок знака остановки с рукой посередине.
Триграммы даосского багуа часто располагаются восьмиугольником.
Знаменитая восьмиугольная золотая чаша с места кораблекрушения Белитунг
Занятия в Shimer College традиционно проходят за восьмиугольными столами.
Производные цифры
Усеченная квадратная плитка имеет 2 восьмиугольников вокруг каждую вершины. 
Восьмиугольная призма содержит два восьмиугольных лиц. 
Восьмиугольной антипризма содержит два восьмиугольные лица. 
Усечен кубооктаэдр содержит 6 восьмиугольные лица. 
Omnitruncated кубических сот
Связанные многогранники
| Изображение |  |   |   |   |   |   |   | . |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имя | Восьмиугольник | Усеченный куб | Усеченный тессеракт | Усеченный 5-куб | Усеченный 6-куб | Усеченный 7-куб | Усеченный 8-куб | |
| Диаграмма Кокстера | |  | | | | | | |
| Фигура вершины | () v () |  () v <> |  () v |  () v | () v | () v | () v |
Как расширенный квадрат, он также является первым в последовательности расширенных гиперкубов:
