какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов е и в

Циркуляция вектора В для магнитного поля в вакууме

Уравнения Максвелла для магнитостатического поля

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора Впо заданному замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, В₁=Вcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), а — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 173,

Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на при-

мере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна

Согласно выражению (118.1), получим В•2pr=m₀I (в вакууме), откуда

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).

Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.

Источник

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Жан Батист Био и Феликсом Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции:

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I.

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ₀ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в 1.16.

Иллюстрация закона Био–Савара

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где R – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода. Изображены токи I₁, I₂ и I₃, создающие магнитное поле

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δl, взятую по всему контуру L:

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ₀ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи I₂ и I₃ пронизывают контур L в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, I₃ > 0, а I₂ Опубликовано в разделах: Электродинамика, Магнитное поле

Источник

Энергия витка с током во внешнем магнитном поле.

По катушке L течет ток I, поддерживаемый источником ε (рис.6). При размыкании цепи (ключ переводим в положение 2) ток I поддерживается за счет ЭДС самоиндукции ε_сам (11.11), возникающей за счет уменьшения тока I. Работа, совершаемая ε_сам по перемещению заряда dq,

Работа эта совершена за счет исчезновения магнитного поля соленоида

Запас энергии в магнитном поле выразим через индукцию В:

(11)

С учетом того, что , можно будет записать:

(12)

Магнитный поток через замкнутую поверхность.Вихревой характер магнитного поля.

Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B_l=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и dl.

Теорема о циркуляции :циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

, (37)

где — число проводников с токами, охватываемых контуром произвольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, т.к. для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.

Сравнивая циркуляцию векторов и , можно сделать вывод: циркуляция вектора электростатического поля всегда равны нулю, т.е. электростатическое поле являетсяпотенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равны нулю. Такое поле называется вихревым.

Общее выражение для работы, совершаемой в магнитном поле над контуром с током

. (41)

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересечённый движущимся проводником.

Формулу (41), можно представить в виде:

, (42)

где — поток магнитной индукции (магнитный поток).

Закон Фарадея для электромагнитной индукции. Правило Ленца.

Закон Фарадея утверждает, что ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком.

(1)

Знак минус показывает, что увеличение потока вызывает э. д.с. т. е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение потока вызывает т.е. направления потока и поля индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле (1) определяется правилом Ленца.

Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.

Закон Фарадея может быть получен из закона сохранения энергии, как это впервые сделал Г. Гельмгольц. Рассмотрим проводник с током I, который помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура, и может свободно перемещаться (рис. 1).

Под действием силы Ампера F, направление которой показано на рисунке, проводник перемещается на отрезок dx. Таким образом, сила Ампера производит работу dA=IdФ, где dФ — пересеченный проводником магнитный поток.

Согласно закону сохранения энергии, работа источника тока за время dt ( ) будет складываться из работы на джоулеву теплоту (I 2 Rdt) и работы по перемещению проводника в магнитном поле (IdФ):

где R — полное сопротивление контура. Тогда

= есть не что иное, как закон Фарадея.

Источник

Циркуляция вектора в магнитного поля в вакууме

Введем, аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля, циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, который направлен вдоль обхода контура, B_l=Bcosα — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбора направления обхода контура), α — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(1)

где n — число проводников с токами, которые охватываются контуром L любой формы. Каждый ток в уравнении (1) учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; отрицательным считается ток противоположного направления.

Рис.1

Например, для системы токов, изображенных на рис. 1,

Выражение (1) выполняется только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано дальше, для поля в веществе нужно учитывать молекулярные токи.

Рис.2

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, который перпендикулярн плоскости чертежа и направлен к нам (рис. 2). Возьмем в качестве контура окружность радиуса r. В каждой точке этого контура вектор Водинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она есть и линия магнитной индукции). Значит, циркуляция вектора В равна

Используя формулу (1), получим В•2πr=μ₀I (в вакууме), откуда

Значит, используя теорему о циркуляции вектора В мы получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное ранее на основании закона Био-Савара-Лапласа.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В, можно увидеть, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле потенциально. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле носит название вихревое.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в теории о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, поскольку дает возможность находить магнитную индукцию поля без использования закона Био-Савара-Лапласа.

Источник

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов е и в

Контрольные вопросы. Упражнения

1. Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников постоянного тока?

2. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?

3. Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление вектора В? Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока?

4. Записав закон Био-Савара-Лапласа, объясните его физический смысл.

5. Рассчитайте, применяя закон Био-Савара-Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока; 2) в центре кругового проводника с током.

7. Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулируется?

8. Почему магнитное поле является вихревым?

9. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции В, рассчитайте магнитное поле тороида.

10. Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.

11. Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.

12. В магнитном поле с индукцией B поместили две параллельные металлические пластины, расстояние между которыми равно d. Поток электронов со скоростью v между пластинами движется прямолинейно параллельно плоскости пластин. Какова разность потенциалов между пластинами?

13. Какими магнитными свойствами может обладать вещество из атомов с нечетным числом электронов в оболочке в газообразном состоянии?

15. Проводник массой 10 г и длиной 20 см подвешен в горизонтальном положении в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. На какой угол (в градусах) от вертикали отклонятся нити, на которых подвешен проводник, если по нему пропустить ток силой 2 А? Массой нитей пренебречь.

Источник