многие важные проблемы современной математики которые нельзя решить с помощью финитных методов

Финитное обоснование математики

Как отмечалось, финитный подход требует ограничить математическую мысль объектами, данными в непосредственном созерцании еще до всякого мышления, и такими операциями с этими объектами и способами рассуждения, которые не требуют привлечения абстрактных понятий, включая допущения о завершенных бесконечных последовательностях.

Рассмотрим на примере арифметики, какие объекты (знаки) являются для нее исходными, какие финитные высказывания об этих объектах допустимы и какие методы конструирования и рассуждения приемлемы.

Исходный объект арифметики — цифра 1. Она символизирует число, называемое единицей. Операция порождения — приписывание этой цифры справа от данного объекта. Применение данной операции к 1 порождает ряд натуральных чисел:

Эти объекты элементарны, наглядны и конечны. Их сравнение друг с другом позволяет устанавливать между ними базисные отношения равенства или неравенства.

Под идеальными элементами Гильберт понимает математические и логические формулы, т. е. схемы высказываний, которые не имеют прямой содержательной интерпретации и на место которых могут подставляться любые удовлетворяющие им конкретные арифметические (конечные) высказывания. Сравнение алгебры с арифметикой поможет понять смысл сказанного. Вместо того чтобы доказывать бесконечное число частных теорем вида «1 + 1 = 2», «2 + 2 = 4», «3 + 3 = 6», достаточно знающему алгебру доказать общую формулу, т. е. ввести идеальный элемент, «а + а = 2а», которая обосновывает истинность всех арифметических суждений указанного вида.

Расширение финитной математики за счет добавления идеальных элементов означает, выражаясь современным языком, ее полную формализацию, построение логического исчисления, позволяющего вместе с математическими аксиомами чисто формально доказывать математические теоремы.

Согласно Гильберту, идеальные элементы не имеют самостоятельного значения, и их значение определяется правилами употребления. С ними нельзя оперировать как с содержательными высказываниями. Они — элементы формального анализа, их принципиальное назначение — быть средством формализации теории.

Идеальные элементы, которые вводятся выражениями, включающими кванторы общности и существования, допускают финитную, фактически конструктивную интерпретацию. Пусть дано общее утверждение, что всякое число, делимое на шесть, делимо также и на три. Оно означает, что, начиная с первого объекта, который делится на шесть, и подставляя поочередно остальные с этим же свойством, мы будем получать каждый раз истинные высказывания, что каждое из них делится также и на три. Как бы далеко мы ни продвинулись в этом процессе контроля, все получаемые высказывания будут финитно проверяемыми. Но поскольку при этом остается бесконечная последовательность еще непроверенных чисел, делящихся на шесть, мы имеем дело с потенциально истинным рассуждением. Экзистенциальное утверждение вида (Ех)Ах интерпретируется аналогично. Оно представляет частичное, неполное и тем самым потенциально истинное суждение, симптом более полного и определенного высказывания, которое либо обозначает факт непосредственного предъявления объекта, обладающего свойством Ах, либо указывает процедуру конструирования такого объекта.

Сказанного достаточно, чтобы понять характер финитного построения не только арифметики, но и других разделов математики. Финитная математика в целом, согласно Гильберту, — это формализованная математика, т. е. машина, порождающая свои объекты исключительно формальными методами. Главное преимущество формализации состоит в том, что она позволяет свести доказательство непротиворечивости арифметики (как и любой другой математической теории) к доказательству непротиворечивости ее аксиом, т. е. к обоснованию, что вывод из данных аксиом обладает свойством непротиворечивости. Укажем основную идею.

Для формализации математической системы необходимо:

Предполагается, что если предъявлена произвольная строчка знаков, входящих в алфавит формальной системы, то в конечное число шагов можно решить, является ли она формулой, и если да, то является ли она аксиомой. Аналогичным образом предполагается, что относительно произвольной последовательности формул можно в конечное число шагов решить, является ли она доказательством. Формула считается доказуемой, если можно построить ее вывод из приведенных аксиом с помощью правил ПО и ПП. Вывод представляет конечную последовательность формул, каждая из которых либо аксиома, либо следствие предшествующих формул, полученное с помощью правил следования.

Согласно Гильберту, для формализации элементарной арифметики натуральных чисел (в которой выполняется только операция сложения) и доказательства ее непротиворечивости достаточно следующих аксиом.

Источник

Методология научных исследований : нейрокогнитивный подход (стр. 6 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

1. Обсуждение новых фактов и явлений, которые не могут быть объяснены в рамках существующих теорий.

Предварительный анализ должен раскрыть характер и объем новой информации. В опытных науках такой анализ связан в первую очередь с обсуждением новых экспериментальных результатов и данных систематических наблюдений. Насколько многочисленны полученные данные? Как сильно противоречат они имеющейся теории? Существует ли принципиальная возможность приспособления и модификации известных теорий к этим данным? История науки показывает, что старые теории не сразу отвергались, если обнаруживались противоречащие им факты: эти теории старались модифицировать таким образом, чтобы они смогли объяснить и новые факты. И только безуспешность таких попыток, увеличение числа фактов, противоречащих старой теории, вынуждали ученых создавать новые теории.

2. Предварительный анализ и оценка тех идей и методов решения проблемы, которые могут быть выдвинуты исходя из учета новых фактов и существующих теоретических предпосылок.

По сути дела, этот этап разработки проблемы естественно переходит в предварительную стадию выдвижения, обоснования и оценки тех гипотез, с помощью которых пытаются решить возникшую проблему. Однако на этой стадии не выдвигается задача конкретной разработки какой-либо отдельной гипотезы. Скорее всего, речь должна идти о сравнительной оценке различных гипотез, степени их эмпирической и теоретической обоснованности.

3. Определение типа решения проблемы, цели, которая преследуется решением, связи с другими проблемами, возможности контроля решения.

Если проблема допускает решение, то часто возникает необходимость определить, какое решение следует предпочесть в конкретно сложившихся условиях исследования в той или иной отрасли науки. Как правило, исчерпывающее решение проблем в науке лимитируется или объемом и качеством существующей эмпирической информации, или же состоянием и уровнем развития теоретических представлений.

Вследствие этого часто приходится ограничиваться либо приближенными решениями, либо решением более узких и частных проблем. Хорошо известно, какие ограничения иногда приходится делать в астрономии, физике, космологии, химии и молекулярной биологии вследствие отсутствия надежно работающего математического аппарата. В результате этого приходится вводить значительные упрощения (например, заменять нелинейные члены уравнения линейными и т. п.) и тем самым отказываться от полного решения проблемы.

Нередко сложный и комплексный характер многих фундаментальных научных проблем (например, возникновение жизни) требует выдвижения и решения первоначально более узких и частных вопросов, а не постановки явно неразрешимой в данных условиях более общей проблемы, хотя ее основные идеи могут направлять, и в какой-то мере содействовать решению частных вопросов.

Так, по-видимому, обстоит дело с любым проблемным замыслом: его идеи оказывают влияние на постановку, разработку и окончательное решение проблемы. Предполагая данную проблему решенной, можно заранее представить, какое влияние она окажет на другие проблемы науки и существующие в ней теоретические представления. Такой анализ проще всего осуществить в математике и математическом естествознании, но это не исключает возможности более или менее удовлетворительного прогноза и в опытных науках, если обсуждаемая проблема при этом имеет фундаментальный характер.

4. Предварительное описание и интерпретация проблемы.

После выяснения необходимых данных, теоретических предпосылок, типа решения и цели проблемы открывается возможность более точного описания, формулировки и истолкования проблемы с помощью разработанных в науке понятий и суждений. На этом этапе должна быть выяснена специфика связи между данными, на которых основывается проблема, и теми теоретическими допущениями и гипотезами, которые выдвигаются для ее решения.

Необходимой предпосылкой такого анализа служит выявление всех тех факторов, которые могут оказаться существенными для решения данной проблемы. Этот этап в разработке проблемы в известной мере подводит некоторый итог всей той предварительной работы, которая была предпринята для того, чтобы ясно сформулировать и четко поставить саму проблему. Естественным его завершением является ответ на вопрос о принципиальной возможности решения проблемы. В формальных науках, т. е. прежде всего в математике и формальной логике, нередко удается найти или разработать специальные методы и средства для решения проблем и проверки правильности их решения. Такие методы, которые приводят от некоторых исходных данных к определенным результатам, основываются на четко сформулированном правиле осуществления операций и обладают массовым характером, получили название алгоритмов. Общепонятность алгоритма, его результативность и возможность применения для решения целого класса однотипных проблем или задач делает его весьма ценным средством исследования не только чисто математических проблем, но и проблем, допускающих достаточно четкое математическое выражение. По сути дела, все те задачи и проблемы математики, которые могут быть решены по единому правилу или общей схеме, принадлежат к числу алгоритмических.

Интерес к таким проблемам значительно усилился после возникновения современной вычислительной математики и кибернетики, так как именно алгоритмически разрешимые проблемы можно запрограммировать и тем самым решить с помощью электронно-вычислительной машины. Что касается доказательств существования и несуществования алгоритма, то они принадлежат к творческим проблемам, имеющим большое общенаучное и методологическое значение. Огромная масса исследовательских проблем не поддается алгоритмизации и, следовательно, не может быть передана машине, хотя использование таких машин может во многом облегчить трудоемкую задачу обработки многочисленных эмпирических данных.

Когда же говорят о неразрешимости какой-либо проблемы, то под этим подразумевают, что для данной проблемы существует доказательство ее неразрешимости с помощью некоторых точно указанных средств. В истории науки не раз бывало, что проблема, не поддававшаяся решению с помощью известных средств, находила довольно быстрое решение посредством новых, более совершенных средств. Так, знаменитая задача о трисекции угла, которую античные математики не смогли решить с помощью циркуля и линейки, была довольно просто решена с помощью арифметических методов.

Многие важные проблемы современной математики, которые нельзя решить с помощью финитных методов, разрешаются посредством трансфинитных методов. Все это говорит о том, что даже в «формальных науках» разрешимость проблемы должна пониматься в относительном смысле, т. е. с учетом достигнутого уровня развития этих наук.

Относительный характер решения проблем еще резче выступает в эмпирических науках. Поскольку возможность решения проблем определяется здесь в значительной мере объемом и характером эмпирических данных, техническими средствами исследования и уровнем развития теории, то никакое решение не может претендовать на абсолютность. Раз навсегда найденное решение научных проблем невозможно не только потому, что эмпирическая основа их является неполной, а технические средства и теоретические представления и предпосылки исторически ограниченными, несовершенными, но и потому, что в самом процессе исследования обнаруживается ряд других проблем, в свете которых по-иному выступает и первоначальная проблема.

Доказательство неразрешимости ряда проблем ни в коей мере не свидетельствует о существовании каких-либо границ и пределов для познания и исследования.

Фактически когда утверждают или доказывают, что некоторая проблема неразрешима, то тем самым заявляют, что она неразрешима не вообще, а с помощью существующих методов и средств. Это стимулирует поиски новых методов, средств и идей, применение которых может способствовать решению поставленной проблемы и тем самым расширению достигнутых рубежей исследования, а также развитию науки в целом.

2.3. Классификация научных проблем

Обилие и разнообразие проблем, возникающих на различных стадиях исследования и в разных по своему конкретному содержанию науках, крайне затрудняет исчерпывающую классификацию таких проблем. Даже такое, на первый взгляд очевидное, деление проблем на научные (теоретические) и прикладные, основывающиеся на конечных целях исследования, вызывает ряд затруднений.

Дело в том, что нередко даже чисто теоретическая, абстрактная проблема в конечном итоге может привести к разнообразным практическим приложениям.

В свою очередь иногда узкоприкладная проблема дает толчок для постановки и решения проблем широкого теоретического характера.

Не претендуя на исчерпывающую классификацию проблем, попытаемся выбрать в качестве основания деления такие признаки, которые давали бы возможность группировать проблемы по их наиболее существенным объективным и теоретико-познавательным характеристикам.

Прежде всего, все научные проблемы могут быть разделены на два больших класса в зависимости от того, ставят ли они своей задачей раскрытие новых свойств, отношений и закономерностей объективного мира или же осуществляют анализ путей, средств и способов познания.

Большинство наук исследует проблемы, относящиеся к первому классу, т. е. проблемы, связанные с познанием законов объективного мира. Вопросы же, касающиеся средств, методов и путей познания, чаще обсуждаются на ранней стадии становления той или иной науки, а также в переломные периоды ее развития, когда происходит пересмотр се понятийного аппарата. Как показывают история науки и современная практика, проблемы поиска и обоснования новых средств и методов исследования обычно привлекают внимание ученых тогда, когда та или иная отрасль науки только складывается или когда старые методы оказываются малоэффективными, приводят к значительным трудностям. Само разделение труда в области науки, непрерывный рост числа различных методов и средств исследования приводят к обособлению и выделению таких научных дисциплин, которые ставят в качестве специальной задачи анализ различных методов познания вообще и процесса научного исследования в особенности.

Важно подчеркнуть, что указанное деление научных проблем соответственно характеру исследуемого ими предмета — реальный мир или пути и средства его познания — имеет относительный характер, ибо нельзя понять особенности и границы применения того или иного метода, не учитывая специфики тех объектов, к которым он применяется.

Источник

Выбор, постановка и решение научных проблем зависят как от объективных, так и от субъективных факторов.

Рассмотрим объективные факторы.

Во-первых, это степень зрелости и развитости объекта научного исследования, что особенно существенно для наук, анализирующих генетически или исторически развивающиеся объекты.

Во-вторых, это уровень и состояние знаний, теорий в той или иной области науки, равно как и степень зрелости исследуемого объекта, с чем ученый должен считаться.

Причем выбор проблемы в значительной мере детерминируется теорией. Разработанность и уровень имеющейся теории во многом определяет глубину проблемы, ее характер. Научная проблема тем и отличается от разного рода псевдопроблем и ненаучных спекуляций, что она опирается на твердо установленные факты и подтвержденное практикой теоретическое знание. Псевдопроблемы же возникают, как правило, при отсутствии сколько-нибудь надежной теории. Поэтому они в лучшем случае опираются лишь на произвольно истолкованные эмпирические факты. Так обстояло дело, например, с проблемой поиска особой жизненной силы в биологии.

Поскольку возникновение проблемы свидетельствует о недостатке существующих в науке знаний, то первая задача исследователя состоит в том, чтобы конкретно выявить пробелы и дефекты в имеющихся гипотезах и теориях. Однако во всей последующей работе он должен максимально использовать все накопленное и проверенное знание. В опытных науках это знание обычно представлено твердо установленными фактами, эмпирическими обобщениями, законами, надежно подтвержденными теориями.

В зрелой науке любая проблема возникает в рамках определенной теории, поэтому и сам выбор проблемы в значительной мере детерминируется теорией. При этом разработанность и уровень имеющейся теории во многом определяет глубину проблемы, ее характер. Можно сказать, что каждая достаточно широкая теория потенциально определяет совокупность тех проблем, которые впоследствии могут быть выдвинуты на ее основе исследователями.

В-третьих, выбор проблем и их постановка в конечном итоге детерминируется потребностями общественной практики. Именно в ходе практической деятельности наиболее рельефно выявляется противоречие между целями и потребностями людей и имеющимися у них средствами, методами и возможностями их реализации.

Однако познание, как правило, не ограничивается решением проблем, связанных с непосредственными практическими потребностями. С возникновением науки все более значительную роль начинают играть запросы самой теории, что находит свое выражение во внутренней логике развития науки.

В четвертых, выбор проблем, их постановка и решение, которые во многом обусловлены наличием специальной техники, методов и методики исследования. Поэтому нередко ученые, прежде чем приступить к решению проблемы, определяют сначала методы и технику для соответствующих исследований.

Перечисленные объективные факторы не зависят от воли и желания ученого, но ему необходимо их знать и обязательно учитывать при выборе, постановке и решении проблем, так как они оказывают определяющее влияние на процесс развития научного знания.

Кроме объективных существуют и субъективные факторы, также существенно влияющие как на постановку, так и на выбор проблем. К ним относятся прежде всего интерес ученого к исследуемой проблеме, оригинальность его замысла, научная добросовестность, нравственное и эстетическое удовлетворение, испытываемое исследователем при ее выборе и решении.

Прежде чем взяться за решение проблемы, необходимо провести предварительное исследование, в процессе которого будет сформулирована сама проблема и намечены пути ее решения. Такая разработка проблемы может осуществляться примерно следующими основными этапами:

1. Обсуждение полученных новых фактов и явлений, которые не могут быть объяснены в рамках существующих теорий. Предварительный анализ должен раскрыть характер и объем новой информации. В опытных науках такой анализ связан прежде всего с обсуждением новых экспериментальных результатов и данных систематических наблюдений. Насколько многочисленны полученные данные? Как сильно противоречат они имеющейся теории? Существует ли принципиальная возможность приспособления и модификации известных теорий к этим данным? История науки показывает, что старые теории не сразу отвергались, если обнаруживались противоречащие им факты: эти теории старались модифицировать таким образом, чтобы они смогли объяснить и новые факты. И только безуспешность таких попыток, увеличение числа фактов, противоречащих старой теории, вынуждали ученых создавать новые теории.

2. Предварительный анализ и оценка тех идей и методов решения проблемы, которые могут быть выдвинуты исходя из учета новых фактов и существующих теоретических предпосылок. По сути этот этап разработки проблемы естественно переходит в предварительную стадию выдвижения, обоснования и оценки тех гипотез, с помощью которых пытаются решить возникшую проблему. Однако при этом не выдвигается задача конкретной разработки какой-либо отдельной гипотезы. Скорее всего, речь должна идти о сравнительной оценке различных гипотез, степени их эмпирической и теоретической обоснованности.

3. Определение типа и цели решения проблемы, а также ее связи с другими проблемами. Если проблема допускает решение, то часто возникает необходимость определить, какое решение следует предпочесть в конкретном исследовании. Как правило, более полное решение проблем зависит от объема и качества эмпирической информации, от состояния и уровня развития теоретических представлений.

Вследствие этого часто приходится ограничиваться либо приближенными решениями, либо решением более узких и частных проблем. Хорошо известно, какие ограничения иногда приходится делать в астрономии, физике, химии, молекулярной биологии из-за отсутствия надежного, работающего математического аппарата. В результате исследователь вынужден вводить значительные упрощения и тем самым отказываться от полного решения проблемы.

4. Предварительное описание и интерпретация проблемы. После выяснения необходимых положений, теоретических предпосылок, типа решения и цели проблемы открывается возможность более точного описания, формулировки и истолкования проблемы с помощью разработанных в науке понятий, категорий, принципов, суждений. На описываемом этапе должна быть выяснена специфика связи между данными, на которых основывается проблема, и теми теоретическими допущениями и гипотезами, которые выдвигаются для ее решения.

Естественным его завершением является ответ на вопрос о принципиальной возможности решения проблемы. В формальных науках, т.е. прежде всего в математике и формальной логике, нередко удается найти или разработать специальные методы и средства для решения проблем и проверки правильности их решения. Такие методы, которые приводят от некоторых исходных данных к определенным результатам, основываются на четко сформулированном правиле осуществления операций и обладают массовым характером, получили название алгоритмов. Общепонятность алгоритма, его результативность и возможность применения для решения целого класса однотипных проблем или задач делает его весьма ценным средством исследования не только чисто математических проблем, но и проблем, допускающих достаточно четкое математическое выражение. По сути дела, все те задачи и проблемы математики, которые могут быть решены по единому правилу или общей схеме, принадлежат к числу алгоритмических.

Многие важные проблемы современной математики, которые нельзя решить с помощью финитных методов, разрешаются посредством трансфинитных методов. Все это говорит о том, что даже в «формальных науках» разрешимость проблемы должна пониматься в относительном смысле, т.е. с учетом достигнутого уровня развития этих наук.

Источник