Параболические уравнения
Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Описывают нестационарные процессы.
В общем виде могут быть записаны как 
, где u — неизвестная функция, A — эллиптический оператор, а f — известная функция пространственных координат и времени.
В зависимости от размерности эллиптического оператора параболические уравнения могут быть одномерными, двухмерными и трёхмерными. Обычно на эллиптический оператор дополнительно накладывается условие положительной определенности.
Пример параболического уравнения — уравнение теплопроводности.
Смотреть что такое «Параболические уравнения» в других словарях:
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОД — метод приближенного решения высокочастотных дифракционных задач (см. Дифракции математическая теория>. Как правило, к П. у. м. приходится прибегать для нахождения волнового ноля в тех областях, где лучевой метод применять нельзя из за того, что… … Математическая энциклопедия
ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… … Математическая энциклопедия
Дифференциал — (Differential) Определение дифферинциала, дифферинциал функции, блокировка дифферинциала Информация об определении дифферинциала, дифферинциал функции, блокировка дифферинциала Содержание Содержание математический Неформальное описание… … Энциклопедия инвестора
ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ — с частными производными дифференциальное уравнение с частными производными, тип к рого вырождается в нек рых точках области задания уравнения или на ее границе. Тип уравнения или системы уравнений в точке определяется одним или несколькими… … Математическая энциклопедия
Кружков, Станислав Николаевич — Кружков Станислав Николаевич Дата рождения: 16 сентября 1936(1936 09 16) Место рождения: Москва Дата смерти: 12 июня 1997(1997 06 12) … Википедия
Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине 20 го века в работах таких известных математиков, как Э.Хилле, Р.Филиппса, К.Иосиды, В.Феллера. Основные… … Википедия
Дифференциальное уравнение в частных производных — (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Содержание 1 Введение 2 История … Википедия
Парабола — У этого термина существуют и другие значения, см. Парабола (значения). Парабола, её фокус и директриса Коническое сечение … Википедия
Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси,… … Википедия
Параболическую теорию нельзя применять когда
Поскольку зависимость оказалась параболической, уравнение применяемости АНН в динамике выглядит так [c.90]
Из рассмотрения зависимостей 7VT (H) следует, что во всех случаях они носят параболический характер и могут быть представлены уравнением [c.67]
Для этого отыскивались уравнения регрессии для линейной, гиперболической и параболической второго порядка форм связи(подробнее вопрос о форме связи изложен ниже). При этом использовались расчеты парных корреляционно-регрессионных зависимостей между суточной загрузкой оборудования и расходом в отдельности топлива, воды, электроэнергии и пара, приходящиеся на единицу целевой продукции. [c.99]
Таким образом, связь между изменением себестоимости единицы продукции в зависимости от загрузки оборудования по сырью более полно описывается параболической второго порядка формой связи (рис. 3.6). [c.105]
Из рис. 2 видно, что между суммарной закачкой воды и суммарным приростом добычи нефти наблюдается параболическая зависимость,-свидетельствующая о существующей тенденции роста удельного расхода воды на [c.87]
По такому же принципу рассчитываются и параметры криволинейного уравнения. Так, в случае параболической зависимости параметры а0, аь а2 находятся по следующей системе нормальных уравнений [c.322]
В качестве примера параболической корреляционной связи рассмотрим зависимость себестоимости молока от продуктивности коров по данным аналитической группировки сельхозпредприятий области (табл. 8.5). В этой же таблице приведены расчетные величины, входящие в уравнения МНК для параболы. [c.264]
У детали или целой конструкции может быть несколько предельных состояний напряжения, деформации, колебания. В зависимости от того, какое предельное состояние лимитирует, будет меняться форма детали. Например, балка, лимитированная напряжением, будет иметь параболический пояс, прогибом — параллельные пояса. 16 [c.16]
Закон Вагнера, кривая Арми–Рана и парадокс богатства
Долгое время закон Адольфа Вагнера считался самым незыблемым экономическим законом. Однако сегодня многие специалисты считают, что он уже не выполняется. В нарушении этого закона большое значение имеет кривая Арми–Рана. Что это за конструкции? Какие явления стоят за ними?
Сегодня в экономической науке фигурирует множество понятий и эффектов, которые имеют основополагающее значение для функционирования экономических систем. В данной статье мы дадим систематическое изложение таких малоизвестных в русскоязычной литературе явлений, как закон Вагнера и кривая Арми–Рана, а также связанного с ними парадокса богатства.
1. Закон Вагнера: общая формулировка, значение и следствия. В экономической теории довольно давно фигурирует закон Вагнера, который долгое время считался чуть ли не самым незыблемым экономическим законом. Сформулирован он был немецким экономистом Адольфом Вагнером (Adolph Wagner) в 1892 г. Сегодня можно встретить различные аранжировки данного закона, однако многие из них являются совершенно неправильными. В современной трактовке данный закон, на наш взгляд, следует формулировать следующим образом: рост валового внутреннего продукта (национального дохода) сопровождается ускоренным ростом государственных расходов.
Данное утверждение можно легко формализовать. Если X – объем валового национального продукта (ВВП), а G – величина государственных расходов, то в соответствии с законом Вагнера имеет место следующая степенная зависимость:
Таким образом, закон Вагнера постулирует возрастающую нелинейную зависимость между государственными расходами и ВВП. Если Θ≤1, то закон Вагнера автоматически нарушается. Иными словами, на языке математики закон Вагнера эквивалентен утверждению, что в зависимости (1) параметр Θ строго больше единицы – Θ>1 (рис.1).
Если ввести в рассмотрение показатель эластичности государственных расходов по ВВП, то он совпадет с параметром Θ, т.е. Θ=(X/G)(dG/dX). В этом случае закон Вагнера утверждает, что эластичность государственных расходов по ВВП больше единицы. Следовательно, закон Вагнера постулирует тот факт, что экономический рост выступает в качестве ускорителя роста государственных расходов. В связи с этим некоторые исследователи трактуют данный закон как частный случай эффекта храповика [2]. В дальнейшем степенную функцию на рис.1 будем называть кривой Вагнера.
Содержательно закон Вагнера означает, что с течением времени роль государства возрастает, а вместе с ней и масштабы государственного сектора. И надо сказать, данный тезис на протяжении длительного времени выполнялся с редкостным постоянством. В табл.1 хорошо видно, что на протяжении более чем 120 лет во всем мире имела место единообразная тенденция роста доли государственных доходов в ВВП, что является прямым следствием закона Вагнера.
| Страны мира | Доля государственных расходов в ВВП, % | Доля госсектора в общей численности занятых, % | ||
|---|---|---|---|---|
| 1870 г. | 1996 г. | 1870 г. | 1994 г. | |
| Австралия | 18,0 | 36,0 | 1,4 | 20,9 |
| Австрия | 10,0 | 52,0 | 1,9 | 22,4 |
| Франция | 13,0 | 55,0 | 2,5 | 24,8 |
| Германия | 10,0 | 49,0 | 1,2 | 15,1 |
| Италия | 14,0 | 53,0 | 2,6 | 16,2 |
| Япония | 9,0 | 36,0 | 1,0 | 6,9 |
| Норвегия | 6,0 | 49,0 | 2,2 | 30,6 |
| Швеция | 6,0 | 64,0 | 2,2 | 32,0 |
| Швейцария | 16,0 | 39,0 | 2,4 | 14,1 |
| Великобритания | 9,0 | 43,0 | 4,9 | 15,0 |
| США | 7,0 | 32,0 | 2,9 | 14,5 |
Совершенно очевидно, что рано или поздно закон Вагнера должен нарушиться, так как в качестве своего предела он имеет 100-процентное изъятие дохода компаний с его последующим перераспределением через бюджет. Однако такое обобществление финансов равносильно ликвидации частного сектора как такового, что по определению является невозможным. Таким образом, несмотря на его незыблемость в ретроспективе, закон Вагнера никак не может считаться по-настоящему универсальной зависимостью. В каком-то смысле вопрос состоит только в том, когда этот закон перестанет действовать. Данным обстоятельством и определяется тот интерес, который многие экономисты в последнее время испытывают к закону Вагнера. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, проверка данного закона предполагает определенные методические нюансы, чем, собственно, и объясняется имеющееся разночтение в отношении того, выполняется или нарушается сегодня закон Вагнера.
2. Проверка закона Вагнера; долгосрочная эластичность. Опираясь на предыдущие построения, можно сказать, что на практике проверка того, выполняется или нарушается закон Вагнера, сводится к эконометрической оценке показателя эластичности Θ. Для этого аналитики строят эконометрическую зависимость, на основе которой впоследствии и вычисляется эластичность Θ.
Как правило, для таких целей используется эконометрическая модель следующего вида [1]:
Поясним зависимость (2).
Во-первых, в представленной модели фигурирует распределенная во времени зависимость между государственными расходами и ВВП (X(t–i)). Опыт показывает, что величина лага может доходить до 5 лет. Такой подход позволяет более тонко и полно учесть влияние экономического роста на бюджетную политику.
Во-вторых, в модели (2) помимо фактора ВВП фигурируют другие факторы (Yj), от которых зависит бюджетная политика. Как правило, число таких «прочих» факторов составляет 3–4 штуки. Данный подход позволяет отфильтровать влияние ВВП на государственные расходы от иных возмущающих воздействий. В некоторых работах «прочие» факторы тоже используются с временным запаздыванием. В простейшем случае может использоваться один «прочий» фактор, например, сама величина государственных расходов в предыдущие периоды времени. Иногда в правую часть модели (2) дополнительно вводится трендовый компонент [1].
В-третьих, в модели (2) все исходные переменные логарифмируются. Это делается для того, чтобы впоследствии было удобнее вычислять показатель эластичности Θ.
На последнем моменте следует остановиться немного подробнее. Дело в том, что «полная» эластичность расходов по ВВП Θ складывается из «частных» эластичностей с учетом временного такта ВВП. Таким образом, лаговые зависимости приводят не к точечной эластичности Θ, а к распределенной эластичности Θ*, которая в литературе называется долгосрочной эластичностью. Такое название связано с тем, что данный показатель учитывает «дальние» (прошлые) изменения ВВП, которые повлияли на величину государственных расходов в текущий момент времени. В связи с этим форма уравнения (2) оказывается чрезвычайно удобной для вычисления долгосрочной эластичности:
Из формулы (3) видно, что долгосрочная эластичность государственных расходов по ВВП представляет собой простую сумму коэффициентов регрессии, стоящих перед всеми показателями ВВП с учетом временного лага. В целом же показатель Θ* представляет собой эмпирическую оценку теоретического показателя Θ и в дальнейшем они могут использоваться как синонимичные понятия.
В прикладных исследованиях проверка закона Вагнера сводится к двухшаговой процедуре: построению модели (2) и вычислению величины (3). Как и в теории, при Θ*>1 закон Вагнера выполняется; в противном случае считается, что он нарушается. Исследование указанной дихотомии и составляет основной предмет дискуссии экономистов по поводу закона Вагнера в современном мире.
На наш взгляд, нельзя не отметить и тот факт, что закон Вагнера по своей сути является законом скорее эмпирическим, нежели экономическим. Иными словами, его наличие не может быть выведено ни из каких общетеоретических соображений. Данный эффект не заложен в качестве универсальной составляющей ни в логике экономического развития, ни в психологии экономических агентов. Соответственно и проверка закона Вагнера сегодня ведется чисто эмпирическая, чем и обусловлен эконометрический инструментарий оценки эластичности Θ.
3. Дискуссии по поводу закона Вагнера; новый режим развития мировой экономики. Несмотря на существующее в научном мире согласие по поводу того, как надо проверять закон Вагнера, его эмпирическая проверка оказывается не совсем простой и вызывает массу дискуссий. Можно утверждать, что часть исследователей считает, что закон Вагнера до сих пор не утратил своего значения и продолжает действовать, другие исследователи полагают, что его время истекло, ибо он в большинстве случаев нарушается.
Например, в 2008 году Серена Ламартина (Serena Lamartina) из Европейского центрального банка и Андреа Загини (Andrea Zaghini) из Банка Италии обнародовали свои расчеты относительно закона Вагнера [1]. Надо сказать, что их исследование дает весьма неоднозначную картину. Так, ими использовались две методики оценки, которые генерируют совершенно разные результаты. В соответствии с одной методикой, начиная уже с 1997 года, групповая долгосрочная эластичность государственных расходов по ВВП для экономически развитых стран (OICD) стала меньше единицы (Θ* 1). Таким образом, окончательный вердикт во многом зависит от выбранной методики оценки.
Однако даже если принять гипотезу о действии закона Вагнера, к которой склоняются С.Ламартина и А.Загини, то просматривается явная неоднородность в рамках исследуемой авторами группы государств. В некоторых странах эластичность гораздо ниже единицы, тогда как в других странах эластичность явно больше единицы. Следовательно, вполне обоснованно можно утверждать, по крайней мере, следующее: страны мира постепенно разделяются на две группы – относительно бедные страны, где закон Вагнера еще действует, и относительно богатые страны, где закон Вагнера уже не работает.
В 2010 году Дик Дюревалл (Dick Durevall) из университета Готенбурга (University of Gothenburg) (Швеция) и Магнус Хенрексон (Magnus Henrekson) из Исследовательского института индустриальной экономики (Research Institute of Industrial Economics) (Швеция) опубликовали статью, в которой довольно категорично отвергли гипотезу об актуальности закона Вагнера [2]. В соответствии с их выкладками, в Швеции закон Вагнера действовал на протяжении периода с1860-х до конца 1960-х годов, а в Великобритании – с 1860-х до конца 1970-х годов. Однако после этого данный закон утратил свою силу и сегодня не действует. Шведские экономисты также заметили, что в экономике Великобритании явно выражен эффект асимметрии, в соответствии с которым государственные расходы растут быстрее в плохие годы, и гораздо медленнее – в хорошие годы. В целом же Д.Дюревалл и М.Хенрексон склоняются к выводу об ограниченной сфере действия закона Вагнера; в долгосрочном аспекте он нарушается.
На основе вышесказанного можно сделать вывод о том, что в 1980-е годы закон Вагнера в развитых странах мира начал терять свое значение. В настоящий момент эта тенденция продолжается, захватывая все новые страны.
Здесь имеет смысл сказать несколько слов о «подводных камнях» на пути проверки закона Вагнера. Дело в том, что в прикладных расчетах используются различные комбинации исходных модельных данных. Например, иногда в левой части (2) используют просто агрегат государственных расходов, а иногда – его прирост. В ряде случаев в правой части модели (2) используют показатель ВВП в текущих ценах, а в некоторых случаях – в постоянных ценах. Иногда в правой части (2) ВВП фигурирует в абсолютном выражении, а иногда – в душевом измерении. Разумеется, все названные случаи могут образовывать разнообразные комбинации, что уже само по себе способно давать качественно различные результаты расчетов.
В качестве примера укажем на довольно часто используемый способ моделирования, когда в левой части (2) стоит величина государственных расходов, а в правой – душевой ВВП. Однако здесь автоматически возникает искажающее влияние эффекта масштаба. Если уж в модели очищается эффект роста населения посредством учета душевого ВВП, то такая же процедура должна быть применена и к показателю бюджетных расходов, который также должен переводиться в душевое измерение. В противном случае в одном статистическом агрегате эффект роста (сокращения) населения учитывается, тогда как в другом – нет. При таком подходе при растущем населении эластичность государственных расходов по ВВП автоматически завышается, а при сокращающемся населении – занижается. Если эластичность находится в узкой зоне около единицы, то подобные смещения оценок могут привести к принципиальному искажению результата, когда, например, нарушающийся закон Вагнера ошибочно подтверждается.
Желая внести ясность в вопрос о законе Вагнера, осуществим простейшие расчеты для двух стран – Швеции и России. В каком-то смысле эти две страны хорошо дополняют друг друга: Швеция – страна классического капитализма, давно прошедшая этап построения мощного госсектора; Россия – транзитивная экономика, находящаяся в стадии становления госсектора.
Проведенные расчеты для Швеции за период 1990-2007 гг. позволили построить следующую элементарную эконометрическую зависимость (автор выражает глубокую благодарность Н.А.Екимовой за помощь в сборе данных и проведении расчетов):
В модели (4) использованы следующие обозначения: N – число наблюдений; R 2 – коэффициент детерминации; DW – коэффициент Дарбина-Уотсона; Е – средняя ошибка аппроксимации (в процентах от фактического значения); под коэффициентами регрессий в скобках указаны значения стандартных ошибок. Построенная модель прошла основные статистические тесты.
Аналогичные расчеты для России за период 1990-2007 гг. позволили построить следующую модель:
Построенные модели (4) и (5) обладают хорошими статистическими характеристиками, что позволяет относиться к ним с достаточно высоким доверием. Обращает на себя внимание тот факт, что в обеих моделях фигурирует лаг только в один год. По-видимому, это связано с тем фактом, что при формировании бюджета учитываются, как правило, доходы прошлого года; более дальние значения ВВП уже «сидят» в агрегатах расходов за предыдущие годы. Таким образом, долгосрочная эластичность расходов в последнее время имеет тенденцию перерастать в обычную точечную эластичность.
Главный вывод, вытекающий из моделей (4) и (5), состоит в том, что эластичность для Швеции и России имеет значения меньше единицы: Θ*=0,92 2 λ /∂g 2 2 =0,998; DW=0,88; Е=3,4.
Аналогичные расчеты для России за тот же период дали следующую зависимость:
Обе модели в целом обладают хорошими статистическими характеристиками (не считая наличия автокорреляции остатков в модели (7)), что позволяет их использовать в дальнейших аналитических расчетах.
На основе построенных моделей можно сделать несколько довольно важных выводов.
Во-первых, кривая Арми–Рана существует и может быть удовлетворительно аппроксимирована параболической функцией. Тем самым данная аналитическая конструкция отнюдь не является теоретическим фантомом, а может быть «воссоздана» на основе простейших статистических показателей. Более того, зависимости для таких непохожих стран, как Швеция и Россия, оказались идентичными, что наводит на мысль о страновой инвариантности кривой Арми–Рана и свидетельствует об устойчивости макроэкономической связи между темпом роста ВВП и долей государственных расходов.
Во-вторых, эффект Арми–Рана действительно существует и порождает точку Скалли как некий максимум возможного экономического роста. Данный факт непосредственно вытекает из анализа знаков параметров моделей (6) и (7), а также формы порождаемых ими кривых. При этом точки максимума лежат в области допустимых значений, что говорит об отсутствии вырожденных случаев.
В-третьих, значения точек максимума оказываются явно больше, чем точка Скалли. Так, для Швеции это g*=38,7%, а для России – g*=28,0%. И в том, в другом случае точки максимума лежат довольно далеко от классической точки Скалли (23%). Данный факт говорит о том, что традиционные опасения по поводу того, что рост доли бюджетных расходов в ВВП может привести к мощному торможению экономического роста, являются преувеличенными. Похоже, что «лимит терпимости» экономики все-таки немного выше, чем это принято думать. Даже если учесть тот факт, что построенные нами модели являются достаточно грубыми и при дополнительной калибровке могут дать более скромные оценки точек g*, то даже и в этом случае вряд ли полученные цифры сильно приблизятся к классической точке Скалли.
Последний вывод имеет большое теоретическое значение, так как точка Скалли используется для дополнительных экономических интерпретаций. Например, Лоуренс Хантер (Lawrence Hunter) из Института социального выбора и индивидуальных ценностей (The Institute for Social Choice an Individual Values) в своей работе приводит график, на котором совместно отображены кривая Арми–Рана и кривая Лаффера [3]. При этом точка Лаффера расположена правее точки Скалли, а это означает, что политика правительственных расходов оказывает на экономический рост более сильное сдерживающее воздействие, чем налоговая политика. Более того, разрыв между точкой Лаффера и точкой Скалли некоторыми экономистами трактуется как зона поиска чистой ренты. Наши расчеты подтверждают указанное взаимное расположение кривой Лаффера и кривой Арми–Рана [5]. При этом следует сделать небольшую ремарку: на рис.4 фигурирует производственная кривая Лаффера и соответствующая ей точка Лаффера 1-го рода. Если рассматривать фискальную кривую и соответствующую ей точку Лаффера 2-го рода, то они почти совпадут с кривой Арми–Рана и точкой Скалли.
Надо сказать, что взаимное расположение двух кривых на рис.4 предполагает несколько идиллическую бюджетно-налоговую политику, состоящую в строгом взимании налогов на уровне точки Лаффера с их последующей неполной растратой на государственные нужды. Это фактически означает, что государство всегда должно иметь некоторый профицит бюджета. Однако в некоторых случаях, например, для России, могут иметь место случаи, когда точка Лаффера 2-го рода больше точки Скалли. В этом случае разница между двумя точками может трактоваться как допустимый максимум бюджетного дефицита. В целом же схему, используемую ранее Л.Хантером, следует признать совершенно верной.
6. Парадокс богатства. Объединение закона Вагнера и кривой Арми–Рана в рамках единой аналитической конструкции дает чрезвычайно интересный результат, который будем называть парадоксом богатства. Рассмотрим его подробнее.
В соответствии с законом Вагнера имеет место уравнение (1), где Θ>1. Тогда доля государственных расходов в ВВП (g=G/X) с учетом (1) описывается следующим выражением:
В силу закона Вагнера функция (8) является возрастающей, однако это возрастание может быть безболезненным для экономики до тех пор, пока не будет превышена отметка g* (точка Скалли), существующая в соответствии с требованием кривой Арми–Рана; при g>g* начинается спад производства. Тогда приравняв функцию (8) к величине g*, получим следующее выражение для предельного объема ВВП:
Выражение (9) фиксирует предельно большую величину ВВП, за пределами которой сам ВВП уже расти не способен. Именно в этом пункте мы и приходим к парадоксу: рост ВВП ограничивает свой собственный рост. Разумеется, этот парадокс имеет смысл только при выполнении закона Вагнера, когда Θ>1. Таким образом, совместное действие закона Вагнера и кривой Арми–Рана возводит барьер для роста национальной экономики. Можно лишь предположить, что по достижении этого барьера экономика будет просто топтаться на месте, сохраняя достигнутый уровень богатства.
Из сказанного вытекает, что закона Вагнера выступает серьезным ограничителем долгосрочного роста экономики. Соответственно, чтобы ликвидировать парадокс богатства необходимо нейтрализовать закон Вагнера. Следовательно, необходимость нарушения закона Вагнера заложена самой экономической эволюцией с характерным для нее экономическим ростом. Именно в богатых странах, перешагнувших барьер (9), происходит перестройка режима экономического развития со сменой величины параметра эластичности государственных расходов с Θ>1 на Θ`
