Парадокс «Ахиллес и черепаха» или запудривание мозгов.
Я думаю практически все знают, как звучит этот парадокс:
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.» Но, естественно, если человек обладает здравым смыслом, он понимает, что на практике эта дичь не работает, и если изначально первый объект движется быстрее второго, то он всегда его догонит и перегонит. Давайте по порядку разберемся в этом «парадоксе».
1) 1-е предложение: «Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов.» Тут как-бы все ясно. Из этого предложения стало ясно, что скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи. Это означает, что за определенный промежуток времени, Ахиллес пробежит расстояние в 10 раз больше черепахи. Запомним это.
2) 2-е предложение: «За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.» Ок, визуально представили себе эту картину.
3) 3-е предложение: Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. И вот тут начинается незаметное запудривание.
Разберем по-подробнее 2-е предложение: «За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.» Давайте условно возьмем, сколько времени пройдет, когда Ахиллес преодолеет расстояние в 1000 шагов, а черепаха-100 шагов. Допустим, это 10 секунд. Далее, в 3-ем предложении говорится, что когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. В данном случае, поскольку преодоленное расстояние Ахиллесом и черепахой в 10 раз меньше ( 100 vs 10 шагов) относительно первого пройденного этапа, соответственно и время потраченное на это расстояние также в 10 раз меньше и равна 1 секунде ( надеюсь этот момент понятен).
Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху
Лидия, препод в универе
20 января
Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху: про знаменитые апории Зенона
Даже те, кто пересдавал философию по несколько раз, не в силах сразу получить тройку, должны помнить словосочетание «апории Зенона». Это логические парадоксы, которые до сих пор не имеют определенного решения. Над этими апориями интеллектуальная часть человечества думает уже более 2000 лет.
Сперва напомню, кто такой был этот Зенон. Он был представителем элейской школы философии в Древней Греции (V в до н.э), учеником знаменитого Парменида, который ввел в философию понятие «бытие».
Зенон Элейский
Элеаты утверждали, что, поскольку бытие тождественно мышлению и равно самому себе, то есть заполняет собой вообще все, никакого движения нет. Бытие неподвижно в принципе.
Опираясь на это утверждение, Зенон и сформулировал свои апории. Мы знаем о них благодаря работам других мыслителей, пересказавших эти парадоксы. В апориях Зенон показывает невозможность движения, даже если на практике мы постоянно видим и ощущаем его.
Но вернемся к апориям.
По сути говоря, Зенон как был разбил этот полет на кадры и увидел в своем воображении первое в мире кино по кадрам.
Зенону приписывают и другие апории, но эти три самые известные. В чем же их загвоздка? Почему очевидный факт вдруг стал загадкой? Ясно же, что Ахилл догонит, стрела летит, человек доходит до намеченного пункта.
Так что пока апории Зенона остаются нерешенными загадками.
Решение парадокса Зенона Ахилл и черепаха
T = (1/2)*L/(Va-Vч) + (1/2)^2*L/(Va-Vч)+….+ (1/2)^n*L/(Va-Vч) при n стремящемся к бесконечности, где ^n означает возведение в степень n.
Упростим выражение
Т = (L/( Va-Vч))*(СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/2)^n)
Для нахождения суммы ряда можно воспользоваться одним из математических сайтов (концентрирующих достижения современной математики), например,math24.biz/sum.
Вот уж где каждый может принять участие в математическом изобличении Зенона.
Здесь (см. рисунок) формулу ряда надо записать как (1/2)^n и установить начальное
значение n=1. Верхний предел суммы устанавливается равным этому пугающему значению «+ бесконечность». Как на рисунке.
Останется нажать на кнопочку (Решение или Enter), 2-3 секунды и ответ на древний как мир вопрос Зенона готов. Сумма этого ряда строго равна 1.
Тогда время сближения
Т = L/( Va-Vч).
Оно конечно и предсказуемо.С точки зрения математики парадокс заключался в том, что Зенон обычную единицу представил в неразрешимом для своего времени виде.
Конечно великий мудрец Зенон может сказать: Вы думали тысячу лет над одним вариантом задачи, а если бы Ахилл приближался каждый раз на 2/3 расстояния или любое другое число меньшее единицы?
Ответ на этот вопрос также уже готов, ведь математика не решает частные задачи, она всегда стремится найти общее решение для множества подобных задач. В данном случае мы имеем дело с бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями для которых достаточно задать первый элемент и знаменатель геометрической прогрессии (меньший единицы по модулю).
Обозначим часть пути, которую каждый раз отмеряет от остатка Ахилл как k/m, где k и m любые положительные целые числа, и k < m. Общее решение будет иметь вид:
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1) )
Собственно, сама бесконечно убывающая геометрическая прогрессия такова:
СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1)
q в нашем случае равно(m-k)/m
тогда:
S = 1/(1 – ((m-k)/m)) = m/k
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(m/k) = L/( Va-Vч)
В результате мы получили всё то же известное (неоднократно истоптанное) решение для равномерного прямолинейного движения. Результат определяется только скоростью сближения Ахилла и черепахи, и никак не зависит от хитроумных рассуждений наблюдающего за ними Зенона.
Парадокс Зенона решён. Ахилл неизбежно догоняет коварную черепаху. Собственно, и черепаха уже никакая не коварная. Это обычное, в чем-то даже симпатичное существо.
Но, повержен ли Зенон? Давайте вспомним, что собственно хотел доказать Зенон своим парадоксом:
То, что Ахилл никогда не догонит черепаху?
Или то, что отрезок не может состоять из бесконечно малых частей?
Зенон придумал свой парадокс пытался показать абсурдность деления отрезка на бесконечно малые части. Зенон пытался доказать от обратного, что любой отрезок состоит из конечного числа частей и что бесконечно малого не существует. Что делать, бесконечности никогда не нравились мудрецам.
Зенон не забыт, более того, он оказалась на передовой битвы научных теорий. С одной стороны квантовая физика, успешно применившая квантовую теорию поля к электромагнитным, сильным, и электрослабым взаимодействиям, нацелена на квантование гравитационного поля. С другой стороны гравитационное поле – это, хоть и искривлённое гравитацией, но непрерывное пространство общей теории относительности.
Линия фронта пролегает на предельно малых расстояниях порядка планковской длины (10 в минус 33 метра). Постоянная Планка — «достаточно безумное» порождение квантовой физики. В то же время линия фронта проходит в условиях запредельной степени сжатия чёрных дыр — этого мрачного пожирателя звёзд, предсказанного общей теорией относительности. И как бы ни мала была граница, Ахиллу придётся её пересечь.
В результате битвы научных теорий, преодолевшей столетний рубеж, появились теории квантовой гравитации, пытающиеся примерить физиков. В 2020 году вышел перевод книги «Нереальная реальность» написанной одним из основателей теории петлевой квантовой гравитации Карло Ровелли. Вот его заключение относительно судьбы незадачливого преследователя черепахи Зенона:
«Ахиллесу не нужно делать бесконечного числа шагов, чтобы догнать черепаху, поскольку в пространстве, которое состоит из зёрен конечного размера, бесконечно малых шагов не существует. Герой будет оказываться всё ближе и ближе к черепахе, пока, наконец не настигнет её одним квантовым скачком».
Такова на данный момент драматическая развязка парадокса Зенона.
Парадоксы Зенона
Бесконечность интересная и таинственная вещь. Но совершенно не понятно может ли наш мозг понять и принять ее? Я уже рассказывал вам о бесконечном отеле Гильберта и мне все это кажется чем-то ненатуральным, чьей то безумной фантазией. Но бесконечность может быть гораздо ближе к реальности, чем закрома нашего разума. Предлагаю вашему внимаю два парадокса о движении, которые сформулировал Зенон Элейский где то в 5 веке до нашей эры.
Гонка Ахиллеса и черепахи
Устроим небольшое воображаемое соревнование. На стартовой линии стоит греческий герой Ахиллес, воин и атлет, символ скорости и силы своего времени. И черепаха. Что? Черепаха? Бред, как черепаха может соревноваться с Ахиллесом? Я думаю, вы бы не стали возражать, если бы мы дали черепахе фору в 100 метров для того, чтобы Ахиллесу пришлось хотя бы немного размять свои мышцы перед триумфальной победой. Предположим, что в целом нашим спортсменам надо преодолеть дистанцию в 1000 метров.
Кстати, на кого вы бы поставили ¤ в этой математической гонке?
Для того, чтобы Ахиллесу обогнать черепаху, ему необходимо сначала ее догнать. Пока Ахиллес бежит 100 метров форы черепаха пробегает еще 10. Черепаха вновь впереди Ахиллеса, он вновь бросается ее догонять и пробегает еще 10 метров. В это время черепаха проползает еще 1 метр. Этот процесс может продолжаться до бесконечности, в которой Ахиллес так и не догонит черепаху.
Проиграли ставку? Но это ничего, ведь деньги у нас не настоящие (в отличии от банков ☺).
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Представить такую гонку на компьютере нет возможности. Как думаете, почему? Потому что компьютер не может делить бесконечно, так как у нас нет бесконечной памяти, чтобы хранить числа произвольной длинны. Благодаря этим свойствам Ахиллес и черепаха в компьютерной гонке все же окажутся в одной точке. Но, несмотря на это, ее смысл мы можем представить так:
Ахиллес и черепаха. О парадоксе Зенона с друзьями
И зачем ему нужна эта черепаха? Беги, Ахиллес, дальше.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Образ Ахиллеса (Ахилла) в апории взят из «Илиады», где герой Ахиллес неоднократно именуется «быстроногим». Сюжет апории напоминает безуспешную погоню Ахилла за Гектором :
188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно.
Словно как пёс по горам молодого гонит оленя.
199. Словно во сне человек изловить человека не может,
Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно,-
Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.
Диоген Лаэртский считал автором этой знаменитой апории Парменида, учителя Зенона[1]. Черепаха как персонаж вставлена комментатором, в тексте апории, приведенном в «Физике» Аристотеля, быстроногий Ахиллес догоняет другого бегуна.
Одно из возможных объяснений парадокса: ложность представления о бесконечной делимости расстояния и времени.
АПОРИЯ В ЛИТЕРАТУРЕ И ИСКУССТВЕ
Льюис Кэрролл написал диалог с логическими загадками под названием «Что Черепаха сказала Ахиллесу?».
Лев Толстой в III томе эпопеи «Война и мир» (начало 3-й части) пересказывает парадокс про Ахиллеса и черепаху и предлагает своё толкование: нельзя разделять непрерывное движение на «отдельные единицы» (вероятно, имеются в виду точки). Далее Толстой, по аналогии, рассуждает о роли отдельной личности в истории.
Поль Валери в поэме «Кладбище у моря» (Le Cimetiere Marin, 1920) писал:
Зенон Элейский, мыслию разящий,
Пронзил меня насквозь стрелой дрожащей,
Хоть сам её полётом пренебрег.
Рождён я звуком, поражён стрелою.
Ужель тень черепахи мне закроет
Недвижного Ахилла быстрый бег!
Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса. Парадоксальная ситуация, описанная в ней, отражена в юмористических стихах и даже в анекдотах.
Такэси Китано в 2008 году снял фильм «Ахиллес и черепаха».
Указанные персонажи встречаются в Диалогах книги Дугласа Хофштадтера «Гедель, Эшер, Бах — эта бесконечная гирлянда».
В 2003 году поэт, эссеист и журналист Линор Горалик написала произведение «Ахилл говорит черепахе», позже опубликованное в «Книге одиночеств» Макса Фрая.
Шуточные стихи
И куда же ты полез,
Ахиллес?
Говорил: «Вон ту фигню?
Догоню!”
Никому, едрёна мать,
не поймать
философских черепах
в черепах.
—— Евгений Лукин
Ахилл бежал, а черепаха
Влекла его к земному краю.
Герой подумал не без страха:
«Я что-то тут не догоняю!»
—— Константин Ефетов
А вот это варианты моих избранных и наших диалогов:
1. суть парадокса
не убегай от себя
совесть догонит
совесть совестью
поступкам всегда найдем
оправдание
Бежит Ахиллес и ползёт Черепаха.
А Боги за ними с насмешкой следят:
И ставят на то, что не сможет и шага
Он сделать с ползущей рептилией в ряд.
Но в том-то и дело, что в воле Ахилла
Прицельно ускорить размеренный бег,
Поверив в свои непреклонные силы.
И этим подобен Богам человек!
.
всегда об этом феномене человеческой мысли думала.
но пришла к выводу: как говорится, тише едешь, дальше будешь.
мера пропорций
всё же один к десяти
как ни старайся
высчитать можно и это
только зачем пусть бежит
