почему остаток нельзя складывать

Тогда их сумма равна: – первая часть делится на 7, поэтому остаток при делении на 7 у суммы будет такой же, как у числа .

– опять же первые слагаемые делятся на 7, поэтому остаток зависит только от последнего слагаемого, т. е. остаток будет такой же, как у числа .

1. Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Докажите, получилось чётное число.

Решение. Рассмотрим все случаи четности этих двух чисел. Если эти два числа оба нечетные, то их сумма четная. Иначе, хотя бы одно из чисел четное, поэтому и их произведение четно. Таким образом, в любом случае один из сомножителей четный, т. е. и произведения четно.

2. Разность двух целых чисел умножили на их сумму и на их произведение. Докажите, что получившееся число делится на 3.

Решение. Переберем возможные остатки, которые могут давать эти два числа, при делении на 3,. Если хотя бы одно из чисел делится на 3, то и все произведение делится на 3. Поэтому осталось разобрать случаи, когда оба числа не делятся на 3. Если оба числа имеют равные остатки при делении на 3, то их разность делится на 3. Остается вариант, в котором одно из чисел имеет остаток 1, а другое ‑ 2. В этом случае сумма чисел делится на 3.

Замечание. Ключевым моментом в решении данной задачи было сведение ее к перебору всех возможных остатков от деления на некоторое число (а именно 3). Данный метод очень часто применяется при решении различных задач.

3. Составьте таблицы сложения и умножения остатков при делении на 4, 5, 6.

4. Докажите, что число 2005´2006´2007´2008 – 24 делится а) на 2004; б) на 2009.

Решение 4а). Найдем остаток при делении числа 2005´2006´2007´2008 на 2004. Он равен 1*2*3*4=24, поэтому остаток числа 2005´2006´2007´2008 – 24 равен 24-24=0.

5. Какой остаток дает число 1030 – 330 при делении на 7?

Замечание. Объясним, почему число 10 можно было заменить его остатком 3. В самом деле, 1030 это произведение 30 чисел равных 10, мы уже знаем, что в произведении можно множители заменить на их остатки, по этому можно получить произведении 30 чисел равных 3. То есть 330.

6. Докажите, что 711+911 делится на 8.

7. Докажите, что сумма делится на 71.

Решение. Заменим каждое из чисел первого слагаемого на остаток по модулю 71, а второго – на наименьшее по модулю число с таким же остатком. Получится: . Количество сомножителей во втором слагаемого нечетно, поэтому . Два слагаемых имеют противоположный знак и одинаковые модули, значит, их сумма равна нулю.

8. На какую цифру оканчивается число 777777?

Решение. Число 777 заканчивается на 7, значит, 777777 заканчивается на ту же цифру, что и 7777. Число 72 заканчивается на 9, поэтому 74 заканчивается на 1. Единица в любой степени будет единица, поэтому заканчивается на 1. Так как , число 7777 заканчивается на 7.

9. Стёпа играл в солдатиков. Сначала он попытался построить их парами, но один солдатик оказался лишним. Тогда Стёпа стал строить солдат тройками, но снова один остался. Та же история повторялась и при построениях по 4, по 5 и по 6. Стёпа уже приготовился выбрасывать непослушного, но тут ему, наконец, удалось построить всех в колонну по 7. Сколько солдат могло быть у Стёпы, если их было меньше 500?

Решение. Мысленно выкинем одного солдатика. Тогда количество оставшихся должно делиться на 2, 3, 4, 5, 6. Найдем НОК чисел от 2 до 6. Это 60. Значит, всех солдатиков без одного могло бы быть 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480. Но вспомним, что число всех солдатиков разделилось на 7. Значит из чисел 61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, 481 надо найти число, делящееся на 7. Такое число там только одно ‑ 301. Значит, у Степы был 301 солдатик.

Источник

Что нельзя класть в компостную яму: список-памятка с объяснениями.

Привет, дачники и жители сельской местности!

Сегодня подобрала для вас всех вот такой полезный материал. Хоть наше очень дождливое и холодное лето 2019-го и заканчивается, конец августа, но мы все с вами очень надеемся, что сентябрь и октябрь хотя бы будут теплыми и порадуют нас солнышком, и мы еще поковыряемся на своих участках и на грядках. Так очень хочется этого.

Я сама пока не обзавелась этой штукой на своем участке. Немного побаиваюсь ее и пока толком не понимаю, зачем она мне. Но у всех знакомых и друзей она имеется, и все очень активно и давно используют эту штуковину.

И так компост — оказывается одно из самых ценных органических удобрений, которое получают из сорняков, растительных остатков, кухонных отходов, разлагающихся под влиянием микроорганизмов. И чтобы использовать его по назначению, класть в ящик компостный оказывается можно далеко не все.

Из чего состоит компостная куча

Все эти составляющие постепенно перегнивают. Полученный компост можно использовать в качестве удобрения. Он почти лишен недостатков, но при условии соблюдения некоторых правил. Закладывать на компостную кучу допустимо не все составляющие.

Что в компост класть нельзя и почему

Ботву томатную, картофельную и огуречную не кладу в компост, так как эти растения подвержены заражению фитофторозом. Если на листьях есть характерные пятна, подгнившие участки, такую ботву лучше сжечь.

Падалицу плодовых деревьев класть в компост можно. Содержащиеся в ней питательные вещества ускорят процесс созревания компоста и позволят добиться совершенно нового качества органического удобрения. Падалицу от косточковых пород использовать тяжело, если только вы не закладываете компост на несколько лет: косточки сливы, алычи, вишни просто не успеют разложиться. А вот яблоки и груши подходят идеально. Как и сброшенные растениями гнилые ягоды любого вида. Исключением являются плоды и ягоды с явными признаками бактериального или вирусного заражения.

Некоторые растения (например, хвощ полевой, вьюнок) тоже не закладывают в компост. Эти растения очень легко укореняются и потом сложно вывести сорняки с огорода. Если нет желания избавляться от сорняков, можно положить их на пару дней на солнце. После этого корни окончательно погибнут, а растения можно заложить в компостную кучу.

Они долго перегнивают, издавая при этом неприятный запах и привлекая животных. Яичную скорлупу на компост выкладывать можно, но лучше закопать ее поглубже.

Абсолютные табу

На компостную кучу нельзя класть зараженные и потенциально опасные растения, легко укореняющиеся сорняки, сорные растения с созревшими семенами. Не стоит закладывать в компост мясные и молочные пищевые отходы, а также то, что долго перегнивает.

Что лучше не выбрасывать на компостную кучу: видео

Всем желаю продолжения лета и хорошего настроения! Отличного и вкусного урожая! Солнышка!

Источник

Деление чисел с остатком

Деление с остатком целых положительных чисел

Деление — это разбиение целого на равные части.

Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

Попрактикуемся в решении.

Пример

Разделить 14671 на 54.

Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.

Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.

Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

Пример

Разделить 17 на −5 с остатком.

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:

d = a − b * c

Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

Разделим заданные числа по модулю.

Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

Так как получили 3, противоположное ему −3.

Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:

d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:

d = a − b * c

Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

Пример

Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

Применим алгоритм для деления с остатком.

Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

Деление с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

Пример 1

Рассмотрим выражение: 10 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

Пример 2

Рассмотрим выражение: 11 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).

Проверка деления с остатком

Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

Формула деления с остатком

a = b * c + d,

где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.

Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

Пример

Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.

Теорема

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:

где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.

Доказательство:

Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.

Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник