Многоугольник с тремя сторонами
Прежде чем рассматривать задачу о том, как проверить, существует ли треугольник, следует подробно изучить эту фигуру. Согласно общепринятому определению, любой замкнутый многоугольник на плоскости, который состоит из трех отрезков, пересекающихся своими концами друг с другом, является треугольником. Эта фигура имеет две группы образующих ее элементов:
Сторонами являются три отрезка, длины которых могут быть либо известны по условию задачи, либо их предстоит рассчитать. Касательно вершин следует сказать, что у любого рассматриваемого многоугольника их три. Каждую принято обозначать одной латинской буквой, например, A, B, C и так далее. Поскольку два отрезка пересекаются в вершине, то они образуют некоторый угол. Их у фигуры три, поэтому становится понятным, откуда происходит название «треугольник».
Типы фигуры
Их классификация является достаточно развитой. В ее основу положены принципы взаимоотношения длин сторон друг с другом, а также численные значения углов. В общем случае в геометрии рассматривают следующие типы треугольников:
Два основных свойства
В некоторых геометрических задачах можно встретить проблемы, которые формулируются так: можно ли построить треугольник со сторонами a, b, c, если известны их длины. Либо другой тип задач, которые предполагают знание некоторых сторон и углов, и требуют определить возможность существования такой фигуры.
Ответ на все эти проблемы заключается всего в одном слове: либо «да» и такой треугольник действительно существует, либо «нет» и из заданных элементов его построить не представляется возможным. Разобраться со всеми этими задачами поможет знание двух главных свойств, которые всегда справедливы для треугольников любых типов:
Оба свойства с успехом можно и необходимо применять, чтобы проверить или узнать возможность существования того или иного треугольника. Важно понимать, что невыполнение любого из свойств говорит о невозможности построения рассматриваемой фигуры.
Вопрос вырождения
В свете изучения возможности существования треугольников важно рассмотреть вопрос их вырождения. В математике придумали универсальную формулу, которая позволяет оценить качество треугольника. Она имеет вид:
Каждый из трех множителей числителя является положительным числом, что следует из главного свойства треугольников. Величина качества CT является положительной и лежит в пределах значений 0 и 1. Возможны следующие случаи:
Теорема косинусов
Чтобы решать задачи на треугольники, недостаточно знать лишь главные их свойства. Последние позволяют лишь дать качественный, но не количественный ответ. Теорем и формул для рассматриваемых многоугольников известно много (синусов, Пифагора, медиан, Герона и др.). Однако, теорема косинусов является одной из основополагающих, поскольку позволяет по двум сторонам и углу определить значение длины третьей стороны (справедливости ради следует отметить, что теорема синусов является не менее важной, поскольку она по двум углам и стороне позволяет вычислить неизвестные стороны).
Соответствующее выражение имеет следующий вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos (α).
Решение задач
Для закрепления полученных знаний полезно привести пару примеров решения типичных геометрических задач с треугольниками, в которых нужно будет либо дать качественный ответ, либо получить некоторое количественное значение.
Первая задача требует получить качественный ответ. Пусть имеется треугольник со сторонами 1, 2, 4. Существует ли такая фигура, требуется выяснить.
Для решения этой проблемы абсолютно неважно измеряются стороны в метрах, в сантиметрах, в дюймах или в других величинах. Важно лишь взаимоотношение между ними. Для каждой из длин отрезков следует проверить свойство существования рассматриваемой фигуры. Если получится хотя бы одна ложь, то треугольник построить нельзя:
Таким образом, для определения возможности существования того или иного треугольника на плоскости необходимо проверить тот факт, что каждая из его сторон имеет меньшую длину, чем сумма двух других отрезков. Теорема косинусов является удобным инструментом для определения количественных характеристик рассматриваемого типа фигур.
Какими могут быть стороны треугольника
1) Существует ли треугольник со сторонами
б) 7 см, 10 см, 12 см?
Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем, выполнено ли это условие для каждого отрезка. Для задачи а):
Третье неравенство неверно, следовательно, треугольника со сторонами 1 см, 2 см и 3 см не существует.
Все три условия выполнены, значит, треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 12 см существует.
2) Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 8 см?
Проверяем, выполняется ли неравенство треугольника для каждого из отрезков:
Последнее неравенство не выполнено, поэтому треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см построить нельзя.
3) Какими могут быть стороны треугольника:
б) 11 дм, 15 дм, 30 дм?
Проверяем выполнение неравенства треугольника для каждой тройки отрезков:
Все три неравенства верны, следовательно, стороны треугольника могут быть равными 5 м, 7 м и10 м.
Третье неравенство не является верным, значит, стороны треугольника не могут быть равными 11 дм, 15 дм и 30 дм.
ГДЗ учебник по математике 6 класс Бунимович. 19. Построение треугольника. Номер №307
1 ) Убедитесь, что нельзя построить треугольник, стороны которого равны:
а) 7 см, 3 см и 3 см;
б) 6 см, 4 см и 2 см.
измените длину одной из сторон так, чтобы треугольник можно было построить.
2 ) Можно ли построить треугольник со сторонами:
а) 11 см, 13 см, 25 см;
б) 15 см, 6 см, 12 см;
в) 20 см, 18 см, 38 см?
Решение 1
а)
7 + 3 = 10 > 3 ;
7 + 3 = 10 > 3 ;
3 + 3 = 6 7 − значит, треугольник построить нельзя.
Увеличим одну из сторон, равную 3 см на 2 см, получим треугольник со сторонами: 7 см, 5 см, 3 см. Тогда:
7 + 5 = 12 > 3 ;
7 + 3 = 10 > 5 ;
3 + 5 = 8 > 7 − значит, треугольник построить можно.
б)
6 + 4 = 10 > 2 ;
6 + 2 = 8 > 4 ;
4 + 2 = 6 = 6 − значит, треугольник построить нельзя.
Увеличим сторону, равную 2 см на 1 см, получим треугольник со сторонами 6 см, 4 см, 3 см. Тогда:
4 + 3 = 7 > 6 ;
6 + 4 = 10 > 3 ;
6 + 3 = 9 > 4 − значит, треугольник построить можно.
Решение 2
а)
11 + 25 = 36 > 13 ;
13 + 25 = 38 > 11 ;
11 + 13 = 24 25 − значит, треугольник построить нельзя.
б)
12 + 6 = 18 > 15 ;
12 + 15 = 27 > 6 ;
15 + 6 = 21 > 12 − значит, треугольник построить можно.
в)
20 + 38 = 58 > 18 ;
18 + 38 = 56 > 20 ;
20 + 18 = 38 = 38 − значит, треугольник построить нельзя.
Ответ:
а) нельзя;
б) можно;
в) нельзя.
Построение треугольника по трем его сторонам
Задача:
Построить треугольник по трем его сторонам.
Дано: отрезки МК, ОЕ, FG.
Построить 
АВС так, что АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ.
Решение:
С помощью линейки проводим прямую 
и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку МК. Для этого произвольно на прямой ставим точку А, с помощью циркуля измеряем отрезок МК и строим окружность с центром в точке А радиуса МК (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точку пересечения окружности с прямой обозначаем В.
Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок ОЕ и строим окружность с центром в точке А радиуса ОЕ (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом).
Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок FG и строим окружность с центром в точке B радиуса FG (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное зеленым цветом).
Данная задача не всегда имеет решение. Так как для каждого треугольника должно выполняться неравенство треугольника, которое говорит о том, что во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны. Если же какой-нибудь из данных отрезков будет больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Построение треугольника по трём элементам
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.
Построение треугольника по трём элементам:
Задачи на построение:
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Построение треугольника по трём элементам.
Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:
1. Отрезок, равный данному.
2. Угол, равный данному.
Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.
Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.
Построение: описать способ построения.
Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.
Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.
Построить треугольник по трём заданным сторонам.
Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.
Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.
∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.
Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.
Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Дано: отрезок р, угол α.
Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Дано: отрезки р и q, угол α.
