Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители?
Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители?
Если число не разложимо на простые множители то оно не составное, а простое.
Разложите на простые множители все составные числа, не превосходящие 30?
Разложите на простые множители все составные числа, не превосходящие 30.
Найдите все двузначные числа кратные :
Разложите на простые множители все составные числа не превосходящие 30?
Разложите на простые множители все составные числа не превосходящие 30.
№2 запишите три трехзначных составных числа, которые больше 500?
№2 запишите три трехзначных составных числа, которые больше 500.
№3 Разложите на простые множители число : а) 7680 ; б) 4500.
Разложить на простые множители составные числа не превышающие 30?
Разложить на простые множители составные числа не превышающие 30.
Какое натуральное число называют состовным?
Какое натуральное число называют состовным?
Существует ли чётное простое число?
Назовите наименьшее простое число.
Любое ли состовное число можно разложить на простые множители?
Какое натуральное число называют составным?
Разложите на простые множители все составные числа, не превосходящие 30?
Разложите на простые множители все составные числа, не превосходящие 30.
Все ли натуральные составные числа можно разложить на простые множителе?
Все ли натуральные составные числа можно разложить на простые множителе?
Запишите составные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух однозначных простых чисел?
Запишите составные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух однозначных простых чисел.
Сколько таких составных чисел?
Разложите на простые множители составные числа : 12, 18, 36, 51, 58, 78, 105?
Разложите на простые множители составные числа : 12, 18, 36, 51, 58, 78, 105.
Любое ли составное число можно разложить на простые множители?
Простые и составные числа: определения и примеры
Простые и составные числа: Freepick
Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.
Простые числа и их особенности
Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.
Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:
Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.
Числа в математике: Freepick
Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:
Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.
Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?
Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:
На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).
Что такое составные числа
Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.
Рассмотрим это на примере:
Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.
Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.
Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.
Математические расчеты: Freepick
Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.
Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.
Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.
Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.
Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Простые и составные числа. Разложение натурального числа на множители
Перечень рассматриваемых вопросов:
Делителем натурального числа n называют натуральное число, на которое n делится без остатка
Натуральное число называют простым, если оно имеет ровно два делителя: единицу и само это число.
Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Основная теорема арифметики.
Любое натуральное число, большее единицы, можно разложить на произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Каждое отличное от единицы натуральное число имеет делитель – простое число.
Теорема 2. (теорема Евклида)
Простых чисел бесконечно много.
Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
На уроке будем формулировать определения, конструировать несложные определения самостоятельно. Сформулируем определения простого и составного числа, приведём примеры простых и составных чисел. Выполним разложение числа на простые множители. Выясним, является ли число составным. Будем использовать таблицу простых чисел.
Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.
числа 2; 3; 5; 7; 11 – простые, т. к. делятся только на 1 и сами на себя, т. е. имеют ровно два делителя.
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.
числа 4; 6; 8; 10 – составные, т. к. делятся не только на 1 и сами на себя, а ещё, например, на 2, т. е. имеют более двух делителей.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.
Простых чисел бесконечно много.
Основная теорема арифметики.
Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.
Рассмотрим, как раскладывать составные числа на простые множители.
Число 57 – составное, т. к. кроме 1 и 57 оно делится, например, ещё на 3.
Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем:
Число 57 можно представить в виде произведения простых чисел.
При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагают справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.
57 = 3 · 12.
Рассмотрим разложение еще одного составного числа на простые множители.
120 – чётное число, значит, делится на 2.
15 – нечётное число,
Следовательно, не делится на 2,
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2 3 · 3 · 5.
При выполнении задания по определению простых и составных чисел удобно использовать таблицу простых чисел.
Выясним, является ли число 337 простым или составным.
Будем считать, что каждое простое число уже разложено на множители.
Например, простое число 13 равно произведению само числа 13 и единицы.
13 = 13 · 1.
Определите самое маленькое натуральное число, которое не имеет простых делителей кроме 2 и 3.
Не имеет простых делителей кроме 2 и 3 – это означает, что в разложении может быть 2 в любой степени и 3 любой степени.
Самое маленькое натуральное число, не является ни простым не сложным.
2, 3, 5 – натуральные числа, они есть в таблице простых чисел.
4 – составное число, которое делится на 2, но не делится на 3. Нам не подходит.
6 – составное число, которое делится на 2 и на 3. Оно удовлетворяет нашему условию.
Итак, мы с вами узнали, какие числа называют простыми и составными.
Узнали основную теорему арифметики.
Узнали, как разложить натуральное число на простые множители.
Углубим наши знания.
Докажем, что одно из трёх последовательных чётных чисел делится на 3
Чётные числа должны делиться на 2.
Предположим противное не делиться на 3.
первое чётное число представим в виде:
2 · 3n + 2,
тогда второе чётное число представим в виде:
2 · 3n + 4
а третье чётное число представим в виде:
2 · 3n + 6
Видим первое и второе не делятся на 3, а третье делится, так как
(2 · 3n) делится на 3 и 6 делится на 3, значит и сумма 2 · 3n + 6.
Делится на 3, по свойствам делимости.
Значит, предположение неверно и из трёх последовательных чётных чисел одно обязательно будет делиться на 3.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Выберите правильный ответ.
Сколько чисел в ряду от 1 до 100 одновременно не делятся ни на 2, ни на 7?
Для решения задачи нужно вспомнить признаки делимости на 2.
Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
То есть делятся на 2 чётные числа. Таких чисел в ряду от 1 до 100 – 50 штук.
Значит, из 100 вычитаем 50 чётных чисел, которые нам не подходят.
Далее рассматриваем в ряду числа от 1 до 100, которые делятся на 7 и являются нечётными. Это: 7, 21, 35, 49, 63, 77, 91. Всего их 7 штук. Вычтем их из 50 и получим 43.
Ответ: 43.
2. Впишите правильный ответ.
Определите, какую цифру, являющуюся простым числом, нужно подставить вместо звёздочки, чтобы число f делилось на число k без остатка, если:
Мерзляк 6 класс — § 5. Наибольший общий делитель
Вопросы к параграфу
1. Какое число называют наибольшим общим делителем двух чисел?
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое нацело делятся оба этих числа.
2. Как можно найти НОД двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) надо:
Полученное число и будет НОД двух данных чисел.
Например найдём наибольший общий множитель для чисел 18 и 24, используя данное правило:
1. Разложим оба числа на простые множители и записать их в виде произведения степеней.
2. Определим степени, основания которых являются одинаковыми в обоих произведениях (соответствующие одинаковые основания степеней подчёркнуты линиями зелёного и фиолетового цвета).
3. Выберем из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями степень с меньшим показателем.
4. Перемножить выбранные степени.
Значит набольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.
Ответ: НОД (18, 24) = 6
3. Какие числа называют взаимно простыми?
Взаимно простые — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1.
4. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому?
Если одно из чисел кратно другому, то наибольшим общим делителем будет меньшее из этих чисел.
Решаем устно
1. Какие из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 17, 31, 32, 33 являются простыми, а какие — составными?
4, 6, 10, 14, 15, 32, 33.
2. Назовите все простые значения х, при которых будет верным неравенство 40 41, 43, 47, 49.
3. Назовите все составные значения у, при которых будет верным неравенство 15 19, 18, 20, 21, 22, 24.
4. Какие одинаковые цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы было верным равенство 2,* + 4,* = 7,6?
Надо поставить цифры 8, так как 2, 8 + 4, 8 = 7,6.
5. Является ли данное разложение на множители разложением на простые множители:
1) 120 = 2 • 3 • 4 • 5
Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 4 — составное число.
2) 567 = 7 • 9
Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 9 — составное число.
3) 180 = 3 • 6 • 10
Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а числа 6 и 10 — составные.
6. Сколько всего делителей у числа а, если а = 3 • 5 • 19?
Делителями числа являются все возможные произведения его простых делителей, а также единицы:
Ответ: у этого числа всего 7 делителей.
Упражнения
138. Найдите наибольший общий делитель чисел:
139. Найдите наибольший общий делитель чисел:
140. Найдите наибольший общий делитель чисел а и b:
1) а = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 19 и b = 2 • 3 • 3 • 7 • 11 • 13;
НОД(a, b) = 2 • 3 • 7 = 42
2) 
и
НОД(a, b) = 2² • 3² • 11² • 19 = 4 • 9 • 121 • 19 = 82 764
141. Найдите наибольший общий делитель чисел:
142. Найдите наибольший общий делитель чисел:
143. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел. Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наибольший общий делитель.
144. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 14, 33, 25.
Разложим числа на простые множители:
Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий множитель равен 1. Значит взаимно простыми будут следующие пары чисел:
145. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 15, 16, 21, 77.
Разложим числа на простые множители:
Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий множитель равен 1. Значит взаимно простыми будут следующие пары чисел:
146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.
147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.
148. Докажите, что:
1) числа 364 и 495 — взаимно простые
Числа 364 и 495 не имеют общих множителей, больших 1.
2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми
Числа 380 и 399 имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 19. Значит они не являются взаимно простыми числами.
149. Докажите, что:
1) числа 945 и 572 — взаимно простые
Числа 945 и 572 не имеют общих множителей, больших 1.
2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми
Числа 1 095 и 738 имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 3. Значит они не являются взаимно простыми числами.
150. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.
Из цифр 2, 3, 4 можно записать двузначные числа (если цифры ы каждом различны):
Из них взаимно простыми будут пары чисел:
Так как 223 и 43 — простые числа, а остальные числа чётные — значит между собой не могут быть взаимно простыми.
151. Напишите три нары составных чисел такие, что в парах числа являются взаимно простыми.
Например, такими числами могут быть:
152. Между учениками 6 класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько в этом классе учеников?
Разложим числа 155 и 62 на простые множители:
Наибольший общий делитель для этих чисел равен 31: НОД (155, 62) = 31.
Значит в классе 31 ученик.
153. На автомобили погрузили 96 контейнеров с картофелем и 64 контейнера с капустой. Сколько было автомобилей, если известно, что их не меньше 20 и на всех автомобилях было одинаковое количество контейнеров с картофелем и одинаковое количество контейнеров с капустой?
1) Найдём все общие делители для чисел 96 и 64:
2) Значит общими делителями для чисел 96 и 64 могут быть числа:
3) Из чисел 2, 4, 8, 16 и 32 только число 32 > 20. Значит всего могло быть только 32 автомобиля.
Ответ: 32 автомобиля.
154. Между школьными библиотеками разделили 92 толковых и 138 орфографических словарей русского языка. Сколько было школ, если известно, что их не менее 25 и все школы получили одинаковые комплекты, состоящие из словарей двух видов?
1) Найдём все общие делители для чисел 92 и 138:
2) Значит общими делителями для чисел 92 и 138 могут быть числа:
3) Из чисел 2, 23 и 46 только число 46 > 25. Значит всего могло быть только 46 школ.
155. Для новогодних подарков приобрели 96 шоколадок, 72 апельсина и 84 банана. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно из них составить, если необходимо использовать все продукты? Сколько в отдельности шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке?
1) Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 96, 72 и 84:
Значит наибольшее количество подарков, которые можно сформировать из всех продуктов, будет 12 штук.
2) Посчитаем, сколько шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке:
Ответ: Всего получиться 12 подарков, в каждом подарке будет по: 8 шоколадок, 6 апельсинов и 7 бананов.
156. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составляли букеты. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, если необходимо использовать все цветы?
Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 156, 234 и 390:
Значит наибольшее количество букетов, которые можно составить, если необходимо использовать все цветы — 78 штук.
Упражнения для повторения
157. Используя цифры 2, 5 и 9 (цифры не могут повторяться), запишите трехзначное число, которое:
1) кратно 2
952 или 892 — чтобы число было кратно 2, на конце должна быть чётная цифра.
2) кратно 5
295 или 925 — чтобы число было кратно 5, а конце должна быть цифра 5 или 0, но среди заданных цифр нуля нет.
Можно ли с помощью этих цифр записать число, кратное 3
Чтобы число делилось на 3 надо, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
2 + 5 + 9 = 7 + 9 = 16 — не делится на 3, значит ни одно трёхзначное число, составленное из этих цифр, не будет делится на 3.
158. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 1*8, чтобы полученное число делилось нацело на 18?
Чтобы число делилось на 18 надо, чтобы число было чётным и сумма его цифр делилась на 9. Проверим последовательно все возможные варианты цифр на месте звёздочки:
Ответ: вместо звездочки можно поставить цифру 0 или 9.
159. Запишите число 19 в виде суммы трёх простых чисел.
160. Если к некоторому двузначному числу справа дописать нуль, то данное число увеличится на 432. Найдите это число.
Пусть х — искомое двузначное число, тогда 10х — число, которое получиться из искомого, если справа к нему дописать нуль. Мы знаем, что 10х на 432 больше, чем х. Можем составить уравнение:
Значит искомое число равно 48.
161. Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений:
Составим уравнения и решим их:
Ответ: a = 0,05; b = 0,34; c = 0,04.
Составим уравнения и решим их:
Ответ: a = 1,5; x = 0,4; y = 0,05.
Задача от мудрой совы
162. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что он разрезал арбуз на четыре части, а после того, как его съели, осталось пять корок. Может ли такое быть, если корки не ломать?
Да, это возможно. Для того, чтобы разрезать арбуз на 4 части, а потом получить 5 корок, надо:
