Точка перед числом что значит

Символ равенства (=) — это когда два коротких отрезка записаны горизонтально и параллельны друг другу. Используем его при сравнении двух одинаковых чисел:

Чтобы ребенку было легче запомнить схожие между собой знаки, можно применить игровой метод. Для этого нужно сравнить числа и определить в каком порядке они стоят. Далее ставим одну точку у наименьшего числа и две — рядом с наибольшим. Соединяем точки и получаем нужный знак. Вот так просто:

Равенство и неравенство

Что такое равенство в математике — это когда одно подобно по количеству другому и между ними можно поставить знак =.

Для примера посмотрим на картинку с изображением геометрических фигур. Справа и слева количество одинаковое, значит можно поставить символ «равно».

Наглядный пример неравенства изображен на картинке ниже. Слева видим три фигуры, а справа — четыре. При этом мы знаем, что три не равно четырем или еще так: три меньше четырех.

Урок в школе зачастую проходит перед учебником, тетрадью и доской. Дома же можно использовать компьютер и некоторые задания выполнять в онлайн-формате. Как найти знаки на клавиатуре? Ответ на картинке:

Типы неравенств

Источник

Снова о числах с плавающей точкой

Несмотря на то, что вопросам точности компьютерных вычислений посвящено очень много публикаций, некоторые из них, на наш взгляд, всё же остаются не до конца четко раскрытыми. А именно:

1. Какое количество верных цифр n гарантированно имеет десятичное число, представленное двоичным m разрядным кодом в формате числа с плавающей точкой.
2. Как влияет нормализация чисел с плавающей точкой на точность представления числа при его преобразовании из одной системы счисления в другую и при арифметических действиях, выполняемых на компьютере.
3. Как влияет округление числа, представленного в двоичном виде на его десятичный эквивалент.
4. Как положение виртуальной точки в машинном слове влияет на значение числа, представленного в экспоненциальной форме.

Ниже мы попытаемся ответить на эти вопросы.

В своих рассуждениях мы будем исходить из представлений о числах с позиции классической арифметики. Нами будут рассмотрены числа, количество значащих цифр которых ограничено разрядной сеткой машинного слова. Чтобы упростить изложение будем рассматривать только положительные числа.

Как правило, прежде чем производить какие либо арифметические операции на компьютере над десятичными числами, их представляют в дробном двоичном виде в естественной форме, а затем записывают полученные числа в нормализованном экспоненциальном виде:

где М — мантисса двоичного числа, 2^-p — характеристика числа, ее еще часто называют экспонентой, p — порядок характеристики.

Двоичное число, представленное в десятичном виде, будем называть двоичным эквивалентом десятичного числа. Десятичное число, представленное в двоичном виде, будем называть двоичным эквивалентом десятичного числа.

Если в качестве мантиссы М принять естественную запись числа, то порядок характеристики в приведенной формуле будет равен нулю, а характеристика, соответственно, единице. Мы будем иметь число, представленное как F = M*2^0=M. Например, двоичное число F= 0.011 имеет порядок p=0. Если точку в числе условно поставить перед старшей значащей цифрой, то порядок характеристики p=-1 и F=0.11*10^-1. Если точку в числе условно поставить сразу после старшей значащей цифры, то порядок p=-2 и F=1.1*10^-2. Если виртуальную точку поставить после младшего разряда мантиссы М, то мантисса будет целым числом и для нее p=-3, а F=11*10^-3. Как мы видим, во всех случаях порядок характеристики равен количеству смещений виртуальной точки в числе относительно ее положения в естественной записи. Все виды записи в наших примерах эквивалентны и имеют одно и то же значение.

Таким образом, значение показателя характеристики числа, представленного в экспоненциальном виде, с учетом положения виртуальной точки, определяет место точки в числе, записанном в естественном виде.

Разрядность машинной мантиссы однозначно определяет количество десятичных чисел, которое может быть представлено в этой мантиссе в двоичном виде. А положение виртуальной точки в мантиссе определяет область на числовой оси, где располагаются эти числа. Двоичные числа, количество значащих цифр которых не превышает количества разрядов машинной мантиссы, являются точными, а десятичные числа, полученные конвертацией этих двоичных чисел в десятичные, называются представимыми.

В силу того, что не все значащие цифры двоичного числа могут уместиться в разрядную сетку машинной мантиссы, это число округляют до необходимого количества значащих цифр. Такое число иногда называют округленным до ближайшего представимого. Округленное двоичное число становится приближенным.

Не смотря на то, что все двоичные числа являются эквивалентом представимых десятичных чисел, не все десятичные числа можно представить в машинном слове. Это связано с несоразмерностью десятичной и двоичной систем счисления. Поэтому десятичные числа, в основном, могут быть представлены в двоичном виде приближенно, в то время как все двоичные числа могут быть представлены в десятичном виде точно. Или, другими словами. Двоичный эквивалент десятичного числа конечной длительности может содержать бесконечное количество значащих цифр. Десятичный эквивалент двоичного числа конечной длительности содержит конечное число значащих цифр.

Приближенные числа состоят из верных (в широком смысле) и неверных цифр. Неверные цифры при арифметических действиях искажают конечный результат. Чтобы этого не происходило, приближенные числа округляют до ближайшей верной цифры.

Округление двоичных чисел приводит к уменьшению учитываемых верных цифр в округленном числе и к изменению неверных цифр в его десятичном эквиваленте. Неверные цифры образуют абсолютную погрешность преобразования.

Округление двоичного числа до ближайшего представимого приводит к увеличению погрешности представления десятичного эквивалента этого числа. Это связано с тем, что при округлении двоичного числа уменьшается количество значащих двоичных цифр, участвующих в представлении его десятичного эквивалента.

В результате преобразования десятичного числа в двоичное, с заданным количеством значащих цифр, получается двоичное число, десятичный эквивалент которого будет приближенным числом, содержащим как верные, так и неверные цифры.

Определим, какое количество верных цифр n гарантированно имеет десятичное число, представленное двоичным m разрядным кодом в формате числа с плавающей точкой.

Для того чтобы десятичное число с n значащими цифрами гарантированно было представлено двоичным кодом с мантиссой, имеющей m разрядов, должно выполняться условие: (10^n)-1 ≤ (2^m)-1 или 10^n ≤ 2^m. Откуда log₁₀⁡10^n≤ log₁₀⁡2^m или n≤ m log₁₀2. Поскольку log₁₀⁡2≈0.3, то будет справедливо неравенство n≤0.3m. Поскольку числа m и n целые, для них будет справедливо неравенство
n≤⌊0.3m⌋. Так, для m=8, будем иметь n≤⌊0.3*8⌋=2.

До сих пор мы говорили о целочисленной машинной мантиссе. На практике же принято считать машинную мантиссу дробным числом с виртуальной точкой, стоящей перед старшим разрядом. Эта виртуальная точка преобразует целое число, записанное в машинной мантиссе в дробное число. Преобразование целого двоичного числа с m значащими цифрами в число, которое представляет собой правильную дробь, равносильно умножению этого числа на коэффициент 2^-m. Таким образом, если в каждом разряде m разрядной машинной мантиссы записаны только единицы и при этом предполагается, что виртуальная точка стоит в начале мантиссы, то число, представленное в этой мантиссе, будет максимальным и будет равно M_maxd = 1-2^-m. Где M_maxd — максимальное дробное число, которое может быть представлено в m разрядной машинной мантиссе с виртуальной точкой в начале мантиссы.

С другой стороны, если машинную мантиссу считать целочисленной, т.е. полагать, что виртуальная точка стоит сразу за младшим разрядом машинной мантиссы, то максимальное целое число M_maxc, которое в нее можно записать, будет состоять из одних единиц и равно M_maxc = (2^m)-1. Если теперь точку переместить в начало мантиссы, то это будет равносильно тому, что M_maxd= M_maxc*2^-m.

Таким образом, в m разрядную машинную мантиссу можно записать дробные числа, лежащие в диапазоне от 0 до M_maxc*2^-m. Где M_maxc — максимальное целое двоичное число, которое помещается в машинную мантиссу.

В общем случае от выбора виртуальной точки зависит только значение порядка характеристики числа, представленного в экспоненциальном виде. Само же значение числа остается неизменным.

Например, в трехразрядную машинную мантиссу можно записать максимальное целое число 111₂ = 7. Это число с виртуальной точкой перед старшим разрядом машинной мантиссы будет иметь значение 0.111=7*2^-3= 0,875. Записанное в машинной мантиссе число 101₂ = 5 с виртуальной точкой перед старшим разрядом будет иметь значение 0.101₂=5*2^-3= 0,625 и т.д.

В разных источниках в настоящее время высказываются различные мнения о точности представления десятичных чисел в двоичном коде. Не затрагивая здесь вопроса точности двоичных арифметических операций над десятичными числами, представленными в двоичном виде, рассмотрим точность конвертации десятичных чисел в двоичные.

Для того чтобы рассмотренные в примерах выше целочисленные мантиссы сместить в область дробных чисел, надо все числа умножить на масштабный коэффициент 2^-53. Тогда максимальное двоичное дробное число в 53-х разрядной машинной мантиссе будет иметь вид:
0.11111111111111111111111111111111111111111111111111111 = 11111111111111111111111111111111111111111111111111111 *2^-53= 9007199254740991*2^-53= 0,99999999999999988897769753748435. Жирным шрифтом помечены верные цифры, соответствующие значащим десятичным цифрам максимального пятнадцатизначного дробного десятичного числа.

Чтобы десятичное число было преобразовано к двоичному виду максимально точно, необходимо, чтобы в двоичном представлении десятичного числа было учтено как можно больше значащих цифр. В идеале, количество значащих цифр двоичной мантиссы числа должно быть равно количеству разрядов машинной мантиссы. Для этой цели десятичное число разлагают по степеням двойки до тех пор, пока количество значащих цифр двоичного числа не сравняется с количеством разрядов машинной мантиссы или не будет разложено точно. Полученное таким образом число нормализуют, смещая старшую значащую цифру числа в старший разряд машинной мантиссы. А в машинную область порядка характеристики помещают масштабный коэффициент, равный количеству сдвигов старшей значащей цифры числа. Процедура нормализации никак не меняет значение числа, а следовательно и точность его представления.

Для примера возьмем компьютер с 8-ми разрядной мантиссой. Гарантированное количество значащих десятичных цифр, которое можно представить в 8-ми разрядной машинной мантиссе равно n ≤ ⌊0.3*8⌋=2. Пусть нам дано число 0.0012. Это число в двоичном виде будет равно ≈ 0.00000000010011101010010. Округлим это число до 8 значащих цифр, количество которых соответствует размеру разрядной сетки машинной мантиссы. Получим число 0.00000000010011101= 0.00119781494140625≈0.0012. Нормализуем это число, поместив в машинную мантиссу все значащие цифры мантиссы числа. Получим 0.00000000010011101010010= 0.10011101*2^-9 = 0,61328125*2^-9=0,00119781494140625. Как мы видим, значение числа не изменилось после нормализации. Точность представления числа также не изменилась, т.к. количество значащих цифр после нормализации осталось неизменным. Мы просто получили другую форму записи одного и того же числа.
В случае если при нормализации двоичного числа окажется, что количество сдвигов старшей значащей цифры числа превышает количество разрядов машинной области, которая предназначена для записи порядка характеристики числа, то число не может быть записано в нормализованном виде. В этом случае происходит потеря точности за счет того, что часть, или все значащие цифры числа оказываются за пределами разрядной сетки машинной мантиссы.

В том случае, когда в результате арифметической операции получено двоичное число, все значащие цифры которого расположены в пределах машинной мантиссы, нормализация результата, с точки зрения арифметики, не имеет смысла.

Например, пусть мы имеем компьютер с 8-ми разрядной машинной мантиссой, в котором виртуальная точка размещена перед старшим разрядом мантиссы. Найдем разность двух двоичных чисел: 0.10110000-0.10010011=0.00011101. Значащие цифры разности полностью поместились в разрядную сетку машинной мантиссы. Десятичный эквивалент этой разности будет равен 0.6875-0.57421875=0.11328125. Нормализуем число 0.00011101. Будем иметь 0.00011101=0.11101*2^-3=0.90625*2^-3=0.11328125. Мы видим, что нормализация никак не изменила значения разности чисел и поэтому в дальнейших вычислениях эти две записи результата, с точки зрения математики, эквивалентны.

СУХОЙ ОСТАТОК

Любое число можно представить в экспоненциальном виде с виртуальной точкой, расположенной в любом месте мантиссы. Смещение точки от ее естественного положения записывается в область машинного слова, выделенную для записи порядков характеристик.

Разрядность машинной мантиссы определяет количество десятичных чисел, которое может быть представлено в этой мантиссе. А положение виртуальной точки в мантиссе определяет область на числовой оси, где располагаются эти числа.

Положение виртуальной точки никак не влияет на точность представления числа.

Точность представления двоичного числа зависит от количества значащих цифр мантиссы, которое можно записать в машинное слово.

Все двоичные числа являются эквивалентом представимых десятичных чисел. Десятичные числа не все являются представимыми в машинном слове. Десятичные действительные числа, в основном, могут быть представлены в двоичном виде приближенно, в то время как все двоичные числа могут быть представлены в десятичном виде точно.

Округление двоичных чисел приводит к уменьшению учитываемых верных цифр в округленном двоичном числе, за счет отбрасывания цифр, не вместившихся в разрядную сетку машинной мантиссы и, как следствие, к уменьшению точности представления десятичного эквивалента.

Округление двоичных действительных чисел приводит к изменению неверных цифр в их десятичном эквиваленте, но не к ликвидации неверных десятичных цифр.

Неверные десятичные цифры в десятичном эквиваленте двоичного числа, полученного из точного десятичного числа, образуют абсолютную погрешность преобразования.

В машинной мантиссе с m разрядами можно гарантированно представить десятичное число, количество верных цифр в котором n≤⌊0.3m⌋.

Нормализация двоичных чисел никак не меняет значения числа, если она осуществляется без округления.

Нормализация не влияет на точность представления числа, если она осуществляется без округления.

Источник

Закрашенная и незакрашенная точка

Знание — сила. Познавательная информация

Выколотая точка или закрашенная?

Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.

Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x или Светлана Иванова, 27 Сен 2012

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Решение неравенств

Метод интервалов

Перенос знаков

Выбор точек

Система и совокупность

Точка знакопостоянства

Что нельзя делать в неравенстве, даже под пытками:

1) Домножать на знаменатель.

2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.

3) Убирать бездумно логарифм или основание.

Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:

А само значение −4 нам подходит?

Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()

Разберемся со скобками:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие ( ≥, ≤ ), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:

Ответ: x ∈ ( 0; +oo).

Следующий пример уже с дробью:

Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:

к.ч. (корни числителя)

к.з. (корни знаменателя)

Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки:

Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем:

Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности:

Отметим на прямой решение каждого неравенства.

Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.

Мой любимый пример:

Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!

А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:

Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем:

В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».

Перейдем к квадратному уравнению:

Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак:

Нам требуются положительные значения:

Второй способ разложить на множители:

Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).

А теперь простой, но крайне показательный пример:

Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример:

Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:

Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).

В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».

Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!

Ответ: x ∈ R или x ∈ ( − oo; 0) ∪ (0; +oo).

Переходим на новый уровень:

Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)

По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:

Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).

Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.

Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.

Ответ: (−oo; − 6) ∪ ∪ [ 3; +oo).

По той же схеме корни числителя и знаменателя:

Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10:

Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.

Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя?

Подставим x = 10 и расставим знаки:

Ответ: [ −oo; −5) ∪ [ 3; 5).

Все скользкие моменты разобрали, стало понятнее?

Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.

Источник