Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c) \cdot r = pr \]
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c+d)\cdot r = pr \]
Примеры вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Описанная и вписанная окружность
теория по математике 📈 планиметрия
Описанная окружность
Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.
Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.
Вписанный и описанный треугольники
Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность: 
Центр вписанной окружности
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Вписанный и описанный четырехугольники
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.
Условие вписанной в 4-х угольник окружности
Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.
На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB
Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.
На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.
Вписанная окружность
Теорема
| В любой треугольник можно вписать окружность. |
Доказательство
Дано: произвольный 
АВС.
Доказать: в АВС можно вписать окружность.
Доказательство:
1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).
2. Точка О равноудалена от сторон АВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в АВС. Теорема доказана.
Замечание 1
| В треугольник можно вписать только одну окружность. |
Доказательство
Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.
Замечание 2
| Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. |
Доказательство
Замечание 3
| Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. |
Доказательство
Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.
Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:
| В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. |
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).
На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = 
и ВС + АD = , следовательно, АВ + СD = ВС + АD.
Верно и обратное утверждение:
| Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. |
Доказательство
Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD
АВ + СD = ВС + АD. (1)
Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).
Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.
АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)
Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству
т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.
Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.
Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.
Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.
Центр описанной окружности
Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.
Центр Вписанная окружность
Определение. Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).
Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.
Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.
В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.
Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.
В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.
Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле
где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.
Формулы длины стороны правильного n-угольника
1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:
| a = 2 R · sin | 180° |
| n |
Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:
| r = a : (2tg | 180° | ) |
| n |
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:
| R = a : (2sin | 180° | ) |
| n |
Правильный треугольник
Формулы правильного треугольника:
1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r √3
2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: a = R√3
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3
7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного треугольника: α = 60°
Формулы правильного четырехугольника:
1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r
2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: a = R√2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны: S = a 2
6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: S = 4 r 2
7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: S = 2 R 2
8. Угол между сторонами правильного четырехугольника: α = 90°
Формулы правильного шестиугольника:
1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны: R = a
5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3
7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°
Значение числа
(произносится «пи») — математическая константа, равная отношению
длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.
Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).
53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан. 
Градусная мера угла в 1 радиан равна:
Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е. 
И наоборот 
Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°
Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна 
И наоборот 
Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.
Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π
В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Геометрический тест: как хорошо вы знаете математику?
Какой из этих ученых не имеет отношения к геометрии?
Численная величина, которая характеризует размер фигуры
Сумма длины всех сторон
Вместимость области пространства
Все фигуры имеют одинаковый периметр. Какая из них имеет наибольшую площадь?
Какая фигура изображена на картинке?
Как называется эта геометрическая фигура?
Какое геометрическое тело изображено на картинке?
Сумма всех углов треугольника составляет.
Формула Герона используется для.
Вычисления площади треугольника
Вычисления площади прямоугольника
Вычисления площади ромба
В какую фигуру нельзя вписать окружность?
Линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны
Часть прямой, которая ограничена двумя точками
Часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца
Отношением противолежащего катета к гипотенузе называется.
Как называется утверждение, требующее доказательства?
Поздравляем! Вы закончили проходить геометрический тест! Расскажите друзьям о своем результате!
Чтобы выжить за границей, не обязательно быть полиглотом. Сегодня, зная разговорный английский, вы запросто объяснитесь в любом уголке мира, особенно в Европе. Большинство преподавателей дают своим ученикам узкую, профессиональную лексику, которая в реальной жизни не поможет. Давай проверим, на каком уровне находится твой разговорный английский и сможешь ли ты с ним путешествовать по миру.
Чтобы ответить на вопросы этого теста недостаточно знать географию; твой кругозор должен быть широким, знания – великолепными, а зрительная память – отличной. Если сможешь ответить хотя бы на 8 из 10 вопросов, то твоей эрудиции можно позавидовать. Проверь себя и свои знания. Поехали!
Современного человека не просто удивить, особенно в интернете. Кажется, что все удивительные факты уже разошлись по глобальной сети. Однако мы заметили, что это практически не задело литературу, поэтому решили восстановить справедливость. Пройди наш тест и попробуй отгадать, где правда, а где вымысел.
Фразеологизмы – это крылатые выражения, не имеющие автора. Эти «изюминки» прочно вошли в наш язык, и воспринимаются как естественный элемент речи, идущий от народа, из глубины веков. Пройди тест, получи новую порцию знаний, придай своим выражениям эмоциональную окраску.
Встречают по одежке, а провожают по уму. Поэтому, путешествуя по миру, стоит не забыть заглянуть в словарик и узнать, к кому же вы на самом деле едете в гости. Пройди тест и узнай, как правильно называть жителей стран мира.
На Земле есть города, которые сконцентрировали в себе что-то очень притягательное. Миллионы туристов каждый год собирают чемоданы, чтобы увидеть их своими глазами. Предлагаем сыграть в игру и попробовать угадать, каким городам принадлежат названные факты. Поехали!
Древняя и в то же время современная, экзотическая и удивительная, уникальная страна с богатой историей – Турция. Здесь сочетаются культура Европы и Азии. Именно сюда чаще всего стремятся люди, чтобы провести свой отпуск. Мечети, пляжи, горы, термальные источники – это не весь список достоинств страны. А что знаешь о Турции ты? Проверь себя.
Современному человеку необходимо быть в курсе всех событий, в том числе и политических. Ситуация в мире довольно напряжённая, и решения о её урегулировании принимают именно главы государств. Проверим, что ты о них знаешь!
Если вы хорошо учились в школе, то вам не составит труда пройти этот тест с высоким результатом. Учитывая то, что сейчас большой процент общения приходится на социальные сети и мессенджеры, крайне важно писать грамотно. Если ваш собеседник образован, он обязательно обратит на это внимание. Начнём же проверку!
Выбрать в качестве профессии писательство может только человек особенный, который сознательно подвергает себя на серьезные физические и душевные мучения. Достоевский говорил, что, единожды издав поэму или роман, у автора есть только два пути: писать или застрелиться. Сможешь ли ты определить какой пагубной привычкой страдала та или иная известная личность?
В русском языке много правил, исключений и просто непонятных вещей. Сегодня мы предлагаем разобраться с «не» и «ни». Знаешь ли ты, где и как они употребляются? Сейчас проверим!
Считаете себя знатоком географии? Тогда назовите без подсказки самую большую пустыню Евразии. И заодно вспомните, какой пролив разделяет Евразию и Америку. На эти вопросы среднестатистический школьник ответит, если подумает. Вы уже, скорее всего, позабыли большую часть базового материала. Мы подобрали интересные вопросы из школьной программы по географии и предлагаем вам проверить свои знания. Немногие врослые справляются с тестом. Давайте узнаем, кто умнее — вы или среднестатистический школьник. Не надейтесь, что вопросы будут легкими.
Собор Парижской Богоматери — самое популярное среди туристов место Парижа. Писатели посвящали ему романы, а верующие называют место святым. В этом году собор прославился на весь мир, к сожалению, в связи с печальными обстоятельствами: случайный пожар разрушил большую часть здания. На протяжении пяти лет храм будет закрыт, его ждет масштабная реставрация. И если в ближайшие годы посетить его не удастся, то узнать больше об этой достопримечательности ничто не мешает. Давайте проверим, что вы знаете о соборе Парижской Богоматери!
Язык не поворачивается назвать географию легким предметом. Вы видели огромную карту мира? А на ней, между прочим, 251 страна, 2 667 417 городов, 94 моря и 2,5 миллиарда рек. Знаете ли вы, какой из двух с половиной миллионов городов — самая высокогорная столица? Да, обычные знания вам не помогут. Даже та информация, которую вы получили в школе. Например, готовы поспорить, вы не сможете сказать, сколько на планете Земля океанов. Если это вас не убедило, то впереди ждут десять вопросов, на которые сможет ответить только знаток географии.
Мы докажем, что анатомия может быть интересной, если обратить внимание на любопытные факты. А вы знаете насколько острое у человека зрение? А какой орган может функционировать даже в том случае, если от него останется лишь четверть? Все вопросы теста связаны с человеческим организмом. Фактически, вы пройдёте тест о себе любимом. Мы выбрали интересные факты, о которых мало кто знает. Набрать максимальный балл сможет только настоящий знаток анатомии или медик. Готовы поспорить, некоторые вопросы поставят вас в тупик.
13 апреля прошёл тест на грамотность — «Тотальный диктант-2019». Сегодня мы не будем мучить вас скучными правилами. Попробуйте вспомнить, как пишутся сложные термины. Только истинные грамотеи идут в ногу со временем, их не смутить написанием странных слов: будь то научные термины, или профессиональные арго. Арго — наше первое спецслово. Помните, что оно значит? Включайте грамотность на максимум. Проверьте свой словарный запас, ответив на наши вопросы. Но будьте готовы к тому, что термины в тесте редкие и особенные.
Тест Сонди разработан венгерским врачом и психологом Леопольдом Сонди (Léopold Szondi) в 1930-е годы. В процессе клинической работы он обнаружил определенную закономерность, которой подчиняется избирательность человека в общении с окружающими.
Предлагаем вам ответить на 12 простых вопросов и узнать, так ли хорошо на самом деле вы знакомы с безграничным миром кинематографа. Готовы? Не забудьте поделиться результатом в комментариях!
Что подарить на 8 марта? Обзор подарков на Алиэкспресс. Выбрали несколько интересных вариантов
Три коротких слова, которые дадут самое точное описание каждого знака зодиака.
Встречают по одежке, а провожают по уму. Поэтому, путешествуя по миру, стоит не забыть заглянуть в словарик и узнать, к кому же вы на самом деле едете в гости. Пройди тест и узнай, как правильно называть жителей стран мира.
Вот живет человек в своем городке и все его устраивает. А между прочим, в мире жизнь кипит и бьёт ключом. Ты даже представить себе не можешь, сколько необычных событий происходит каждый день, час и даже минуту. Мы попробовали собрать их вместе и сделать из этого тест. Вот только без мощной эрудиции пройти его у тебя не получится.
Слово «фобия» в наше время известно всем. Это патология, которая проявляется в виде страха перед определенным предметом, событием, существом и прочим. Споры о количестве людей, страдающих хотя бы одной фобией, не утихают. Статистика фобий показывает, что женщины чаще страдают арахнофобией (боязнь пауков). А знаешь ли ты научные названия человеческих страхов? Проверь себя.
Вы когда-нибудь проходили тест на IQ? Обычно это длинный, однообразный список сложных математических заданий. Скучновато, не правда ли? Недавно ученые доказали, что уровень IQ напрямую связан с эрудицией и образованием человека! В связи с этим предлагаем вам интересный способ проверить уровень IQ. Мы зададим десять вопросов. Ваша задача — ответить на них, используя знания и логику. В конце мы назовем уровень вашего интеллекта. На 99% результат будет идентичен с тем, который вы получили бы после прохождения классического опросника.
Вспоминаем героев наших детских лет. Глубокого смысла в сюжетах советских мультфильмов не меньше, чем в фильмах. Давай попробуем вспомнить, в каких именно шедеврах прозвучали эти мудрые и не очень фразы.
Великий Демокрит утверждал, что эрудиты — на самом деле большие невежды. Философ говорил: «Не стремись знать всё, чтобы не стать во всём невеждой!». Мы с древнегреческим философом не согласны. С человеком, который много знает, как минимум, интересно вести беседу. Проверьте свои силы в интеллектуальном поединке. Как в древние времена назывался Париж? В каком городе расположен Тадж-Махал? Мы подготовили для вас десять вопросов, ответить которые сможет лишь настоящий эрудит. Являетесь ли вы им? Сейчас узнаем!
Планета Земля имеет твердую поверхность, на ней 6 материков; из-за большого количества морей и океанов ее называют «Голубой» и ей примерно 4,5 млрд лет. Это всё – знания, которые мы получили еще в школе. Но только высокоэрудированный человек сможет безошибочно ответить на все наши интересные, но сложные вопросы. Пройди наш тест и узнай – как хорошо ты знаешь планету, на которой живешь.
Считается, что клиповое мышление — беда современного поколения. Не знаете, что такое клиповое мышление? Это когда знания в голове у человека представляют собой яркие фрагменты, не связанные между собой. А ещё сегодня школьники не могут долго концентрироваться на чем-то одном. Иными словами, современные подростки легко впитывают не связанную между собой информацию, причем в огромных количествах. Значит ли это, что их общая эрудиция — ни что иное, как мозаика из разных кусочков? Или они, наоборот, знают больше благодаря быстрому усвоению огромного количества информации? Предлагаем сравнить знания школьника с вашими. Кто знает больше?
