Как называется график функции тангенса

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №5. Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Тангенсоида –график функции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла).

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].–Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. ;

2.

Ответ:

Объяснение нового материала

Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:

рис.1 Тригонометрический круг

Переносим основные значения углов на координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат – значения тангенса угла.

рис.2 График y=tgx на промежутке

Как любая тригонометрическая функции, функция тангенса периодическая, делая параллельный перенос получаем:

Заметим, что график симметричен относительно начала координат, следовательно функция тангенса нечётная. Используя построенный нами график, выведем основные свойства y=tgx:

1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида

3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция возрастает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6.

7. Функция принимает:

Для построения графика можно придерживаться алгоритму рассмотренному при построении графика , однако (формула приведения). Т.е. смещая тангенсоиду на единиц влево и делаем симметрию относительно оси Ох за счёт коэффициента –1, получаем:

Основные свойства y=сtgx:

1. Область определения функции y = сtgx все действительные числа, кроме чисел вида

2. Функция периодическая с периодом ;

3. Функция нечётная. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция убывает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 4 – графики функций и .

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения .

Ответ:

Пример 2. Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

рис.5 графики функций и

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения .

Ответ:

Источник

Объяснение и обоснование

Этот результат можно получить и геометрически. Значения тангенса – это ордината соответствующей точки на линии тангенсов (рис.91). Поскольку точки Aи B единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии тангенсов, мы не сможем найти значение тангенса дляx, kZ.

Для всех других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии тангенсов и ее ординату — тангенс. Следовательно, все

Значенияx входят в область определения функции y=tgx.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) ординаты соответствующих т

очек на линии тангенсов принимают

все значения до +, поскольку для любого действительного числа

мы можем указать соответствующую точку на оси ординат, а значит, и соответствующую точку на оси тангенсов. Учитывая, что точка О лежит

внутри окружности, а точка вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая имеет с окружностью хотя бы одну общую точку

(на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа

найдется аргумент х, такой, что tan x равен данному действительному числу.

то есть R. Это можно записать так: E (=tgx) = R. Отсюда следует, что наибольшего и наименьшего значений функция tan x не имеет.

Как было показано в § 13, тангенс — нечетная функция:tg(-x)=tg x, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

Поэтому при построении графика

этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной π,

а потом полученную линию перенести параллельно вправо и влево вдоль оси

Ox на расстоянияkT = πk, где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = tg 0 = 0, то есть график функции y = tg x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x,

при которых tg x, то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z.

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции тангенс положительны (то есть ордината соответствующей точкилинии тангенсов положительна) в І и ІІІ четвертях. Следовательно, tgx > 0 при

а также, учитывая период, при всех

Значения функции тангенс отрицательны (то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов отрицательна) во ІІ и ІV четвертях. Такимобразом,

Промежутки возрастания и убывания.

Учитывая периодичность функции tgx (период T = π), достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной π,

тангенсов увеличивается (то есть tgx2>tgx1). Таким образом, на этом

промежутке функция tgx возрастает. Учитывая периодичность функции

tgx, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график

функции y = tg x. Учитывая периодичность этой функции (с периодом π),

линии тангенсов. На рисунке 93 показано построение графика функции

y = tg x на промежутке.

Далее, учитывая периодичность тангенса (с периодом π), повторяем вид

графика на каждом промежутке длиной π (то есть параллельно переносим

график вдоль оси Ох на πk, где k — целое число).

Получаем график, приведенный на рисунке 94, который называется тангенсоидой.

14.4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = ctg x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Так как =, то областью определения котангенса будут все значения аргумента, при которых sin х ≠ 0, то есть x ≠ πk, k ∈ Z. Такимобразом,

D (ctg x): x ≠ πk, k ∈ Z.

Тот же результат можно получить, используя геометрическую иллюстрацию. Значение котангенса — это абсцисса соответствующей точки на линии

котангенсов (рис. 95).

Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА

и ОВ, параллельных линии котангенсов, мы не можем найти значение котангенса для x = πk, k ∈ Z. Длядругихзначенийаргументамыможемнайтисоответствующуюточкуна линии котангенсов и ее абсциссу — котангенс. Поэтому все значения x ≠ πk входят в область определения функции у = ctg х.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) абсциссы соответствующих точек на линии котангенсов принимают все значения от –× до +×, поскольку для любого действительного числа мы можем указать соответствующую точку на оси абсцисс, а значит, и соответствующую точку Qх на оси котангенсов. Учитывая, что точка О лежит внутри окружности, а точка Qх — вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая ОQх имеет с окружностью хотя бы одну общую точку (на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа найдется аргумент х, такой, что сtg x равен данному действительному числу. Таким образом, область значений функции y = ctg x — все действительные числа, то есть R.

Это можно записать так: E (ctgx) = R.Из приведенных рассуждений также вытекает, что наибольшего и наименьшего значений функция ctgxне имеет.

Там же было обосновано, что котангенс — периодическая функция с наи­меньшим положительным периодом T= : ctg (x+ ) = ctg x, поэтому через промежутки длиной п вид графика функции ctgxповторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oyзначение x= 0. Но ctg0 не существует, значит, график функции y= ctg x не пересекает ось Oy.

На оси Оx значение y= 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых ctgx, то есть абсцисса соответствующей точки линии котанген­сов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D(рис. 95), то есть при

Значения функции котангенс отрицательны (то есть абсцисса соответ­ствующей точки линии котангенсов отрицательна) во II и IV четвертях, та­ким образом, ctgx x₁) аб­сцисса соответствующей точки линии котангенсов уменьшается (то есть ctgx₂

Источник

Тригонометрические функции

1. Начнем с построения графика функции y = sin x.

Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.

Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть

Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили уча-сток графика длиной 2π. А теперь мы как будто «копируем» этот участок и повторяем его с периодом 2π:

Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.

Перечислим основные свойства функции y = cos x.

Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!

3. Перейдем к графику функции y = tg x.

Осталось только «скопировать» этот участок графика и повторить его с периодом π.

Перечислим свойства функции y = tg x.

5) Функция y = tg x возрастает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:

5) Функция y = сtg x убывает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Источник

14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса

и котангенса и их графики

14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК

График функции y = sin x (синусоида)

Свойства функции y = sin x

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:

1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями

координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее

З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох

(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордина-

та соответствующей точки единичной окружности

(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для

любой точки единичной окружности (в силу того,

что через любую точку окружности всегда можно

провести единственную прямую, перпендикуляр-

ную оси ординат), то область определения функции

y = sin x — все действительные числа. Это можно за-

писать так: D (sin x) = R.

Для точек единичной окружности ординаты нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения

от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]

оси ординат (который является диаметром единичной

окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-

нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-

нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].

Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].

Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение

достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть

при

поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­

ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-

ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).

функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким

образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех

x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-

щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно

исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной

2π, например на промежутке

то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть

sin x ₂ > sin x ₁ ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,

делаем вывод, что она такж е возрастает на каждом из промежутков

Если x ∈ (рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть sin x _{2 1} ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая

периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой

функции (с периодом 2π), д о статочно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, на пример на

промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината

соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на

промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для

построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрич но относительно начала координат

Поскольку мы построили график на

промежутке длиной 2π, то, учитывая

периодичность синуса (с периодом 2π),

повторяем вид графика на каждом про-

межутке длиной 2π (то есть переносим па-

раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,

где k — целое число).

Получаем график, который называется

З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в ма тематике, физике и технике. Например,

множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,

описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Та кие процессы называют гармоническими

колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль

координатных осей и параллельным пере носом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией

времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная

фаза,

14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцис-

са соответствующей точки единичной окружности

(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-

бой точки единичной окружности (в силу того, что

через любую точку окружности, всегда можно про-

вести единственную прямую, перпендикулярную оси

абсцисс), то область определения функции y = cos x —

все действительные числа. Это можно записать так:

D (cos x) = R.

Для точек единичной окружности абсциссы нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-

ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной

всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить

точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следователь но, область значений функции y = cos x:

y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это

зна чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окруж ности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.

Как было показано в § 13, косинус — четная функция : cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси

Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким об разом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.

соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только

тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-

тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-

ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,

поэтому cos x

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать

ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например

на промежутке [0; 2π].

Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) абсцисса соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть cos x _{2 1} ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая

периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.

Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) аб-

сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то

есть cos x ₂ >cos x ₁ ), таким образом, на этом промежутке функция cos x

возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что

она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.

Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x

аналогично тому, как был построен график функ-

ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно

также получить с помощью геометрических преоб-

разований графика функции у = sin х, используя

Эту формулу можно обосновать, например, так.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки

Источник